Лекции по физике. Механика

* Лекции по физике. Механика Механические колебания. Маятники. Волновые процессы.

* Механические колебания Колебаниями называются процессы, происходящие с некоторой долей повторяемости Классификация колебаний Свободные (собственные) Вынужденные Параметрические Автоколебания

* Механические колебания Гармонические колебания описываются гармоническими функциями (sin, cos) Процессы в природе часто близки к гармоническим Любые колебания можно рассматривать как суперпозицию гармонических

*

* Малые колебания Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, имеющую минимум потенциальной энергии U(x) в точке x=0 Разложим U(x) в ряд Маклорена: U(x)=U(0)+U (0) x+1/2 U (0) x2+… из условия минимума U (0)=0 и U (0)>0 положим U(0)=0 U(x)=1/2 k x2

* Малые колебания F=-gradU=-k x – восстанавливающая сила Если эта сила действует на тело массой m, то уравнение движения принимает вид: m x =-k x или x +k/m x=0 Решение этого уравнения: x=A cos( 0 t+ 0), 02=k/m, где A – амплитуда, 0 – начальная фаза, 0 – круговая частота, 0 t+ 0 – фаза

* Малые колебания Сила трения: Fтр=-r x , где r – коэффициент сопротивления Уравнение движения с учётом силы трения: m x =-k x-r x или x +2 x + 02 x=0, где 2 =r/m>0. Это уравнение описывает затухающие собственные колебания

*

* Малые колебания Решение уравнения: x=A e- t cos( t+ 0), При действии на систему внешней силы f(t) уравнение движения принимает вид: x +2 x + 02 x=f(t) (1) Это уравнение описывает вынужденные колебания. Решение будет гармоническим, если f(t) – гармоническая функция: f(t)=F0 cos( t) В общем случае 0

*

* Малые колебания Уравнение (1) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами Если f(t) 0, то (1) неоднородное уравнение, если f(t)=0, то однородное Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения

* Малые колебания При f(t)=F0 cos( t) решение уравнения (1) имеет вид:

* Малые колебания Особенности решения: Частота колебаний равна частоте вынуждающей силы При 0 наступает явление резонанса при котором амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы Угол отставания = /2 при резонансной частоте, 0 при 0 и при

*

* Явление резонанса

* Малые колебания

* Гармонические колебания x=A cos( 0 t+ 0) Период: T=2 / 0, c Частота: =1/T= 0/2 , Гц Скорость: v=x =-A 0 sin( 0 t+ 0)= = A 0 cos( 0 t+ 0+ /2) Ускорение: a=x =-A 02 cos( 0 t+ 0)= = A 02 cos( 0 t+ 0+ )=

* Гармонические колебания Значения A и 0 могут быть определены из начальных условий, т.к. при t=0: x0=A cos( 0), v0=-A 0 sin( 0) Отсюда получаем:

* Гармонические колебания В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно. Кинетическая энергия достигает максимума при прохождении точки равновесия, а потенциальная – в точках максимального отклонения

* Сложение колебаний Согласно теореме Фурье негармоническое колебание можно представить как бесконечную сумму гармонических колебаний с частотами кратными частоте исходного колебания:

*

*

* Пружинный маятник Возвращающая сила: Fн=k l Уравнение движения: l +(k/m) l=0 Частота и период колебаний:

* Математический маятник Положение системы задаётся углом отклонения. Уравнение движения: m l2 =-m g l или +(g/l) =0 Частота и период колебаний:

* Гармонические колебания Широкое применение на практике получили генераторы колебаний – устройства в которых возбуждаются и поддерживаются автоколебания. В этих устройствах потери энергии колебательной системы компенсируются за счёт подвода энергии извне с помощью специального механизма

*

* Звуковые колебания Особую роль в жизни людей играют звуковые колебания которые представляют собой колебания частиц окружающей среды (воздух, вода и т.д.). Эти колебания используются для получения информации об окружающем мире Существуют различные способы возбуждения звуковых колебаний

*

*

*

*

*