Алгебраические преобразования с параметрами

Алгебраические преобразования с параметрами Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые ВУЗы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. В моем реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

В в е д е н и е Первой, и, пожалуй самой просто функцией является линейная функция y=kx+m. Вы знаете что при конкретных k и m графиком функции y=kx+m является прямая линия. Так же из курса школьной программы мы уже знаем, что k=tgа, где а-угол наклона прямой к оси ОХ, а m-ордината точки, в которой прямая пересекается с осью ОУ. И если мы будем изменять значение k , то через одну точку пересечения m с осью ОУ проходит несколько различных прямых. Если же k зафиксировать, а m менять, то получим семейство параллельных прямых. Теперь поближе познакомимся с линейными уравнениями. Линейные уравнения с двумя переменными называется уравнение вида ax+by+c=0. Если b=0, то его можно привести к виду y= -ax:b-c:b, и, положив k= -a:b и m= -c:b, получить стандартный вид y=kx+m. Если же b=0, то уравнение приводится к виду x= -c:b и мы получаем прямую, параллельную оси OY. Рассмотри подробнее случай b=0. Тогда, как было указано, мы можем привести уравнение к виду y=kx+m. Посмотрим, как меняется график функции y(x) при изменении коэффициентов k и m ,то есть как функция y(x) зависит от параметров k и m. Если k0, то функция возрастает (рис. 1). Если m0, то график будет пересекаться с осью ОУ в верхней полуплоскости (рис. 2). k0 m0 рис. 1 рис. 2

П Р И М Е Р №1 Для каждого значения а определите число решений уравнения /x -2x -3/=a Решение. В этой задаче параметр уже выражен через переменную. Таким образом, надо просто аккуратно построить график данной функции. а 4 0 X Количество решений уравнения при фиксированном а определяется числом точек пересечения построенного графика с прямыми у=а, проходящими параллельно оси X. Отсюда сразу следует, что при а>4 и при а=0 имеем два решения, при а=4 – три решения, при а (0;4) – четыре решения и, наконец, при а

П Р И М Е Р №2 Найдите все значения параметра p, при каждом из которых уравнение (x-p) (p(x-p) -p-1)=-1 имеет больше положительных корней, чем отрицательных. Решение. Если p=0, то данное уравнение принимает вид x =1. Это уравнение имеет корни x =1 и x =-1. Следовательно, в этом случае число положительных и число отрицательных корней одинаково, и такое p условию задачи не удовлетворяет. Пусть p=0. Обозначим z=(x-p) >0, тогда исходное уравнение принимает вид pz –(p+z)z+1=0 (*). Корнями уравнения (*) являются z =1 z =1 . 1)Если p

П Р И М Е Р №2 2) Если p>0, то и z >0 исходное уравнение имеет четыре корня: x =p+1, x =p-1, x =p+ 1, x =p - 1 Пусть 00 при i=1,2,3,4. Таким образом, подходят все p>1 Ответ. p принадлежит [1;+00). 2 1 2 3 4 p p i 1 2 3 4 1 2 3 4

П Р И М Е Р №3 Решите уравнение log a + log (x – 1) = log ( x-1 ) + log x+1. Решение ОДЗ: x > 1, a > 0, a = 1. log a + log (x – 1) = log ( x-1 ) + log x+1 log (a (x – 1))= log (( x – 1) x+1), a (x -1) = (x-1) (x-1)(x+1), a (x-1)(x+1) = (x-1) (x-1)(x+1) Так как x=-1 и x=1, сократим обе части уравнения на (x-1) (x-1)(x+1) a x+1= x - 1 Возведём обе части полученного уравнения в квадрат: a (x+1) = x-1 a x + a = x – 1 x(1 - a ) = a + 1 Так как a = -1 и a = 1. то x = 1+a a 2 a 2 a 3 a a a a a 3 2 2 a 2 2 a 3 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 1-a 4

П Р И М Е Р №3 Для того чтобы значения x являлось решением уравнения, должно выполняться условие x>1 , то есть 1 + а Выясним, при каких значениях параметр a это неравенство истинно: 1 + a 2a Так как a >0, то полученная дробь положительна, если 1 – a > 0, то есть при a 1, значит при 0 < a < 1 x является корнем исходного уравнения. Ответ. При a < 0, a = 1 уравнение не имеет смысла, при a > 1 решений нет, при 0 < a < 1 x = 1 + a 1 - a > 0 4 4 1 - a 4 4 - 1>0, 1 -a >0 4 4 4 1 - a 4 4

П Р И М Е Р №4 Найдите все значения параметра b, при которых система уравнений имеет два действительных решения. 4y = 4b + 3 – x +2x x + y =2x Решение. Преобразуем исходную систему следующим образом: 4y = 4b + 3 – x +2x 4y = 4b+4 –(x-1) y - 4y +4b +3=0 x + y =2x (x-1) = 1-y (x-1) = 1-y Рассмотрим второе уравнение последней системы. Так как (x-1) >0, то значение переменной y должно лежать на отрезке -1;1 . Путём подстановки в систему проверяем, что при y=+1 исходная система не имеет двух действительных решений, и условие на переменную y выглядит следующим образом: y принадлежит ( -1;1) . (*) Решения первого уравнения при b< 1 имеют вид y =2+ 1-4b А при b>1 не существуют. Имеем y >2, то есть условие (*) не выполняется. Таким образом, чтобы существовало решение системы, необходимо следующее: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 [ [ 4 1,2 4 2

П Р И М Е Р №4 -1 < 2 - 1-4b < 1 2 - 1-4b 1 b принадлежит (-2;0) Ответ. b принадлежит (-2;0).

Заключение Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. И работая, я способствовала расширению своего математического кругозора, интеллекта, развитию умения анализировать, сравнивать и обобщать, глубоко и прочно усвоив материал.

Л И Т Е Р А Т У Р А Еженедельная учебно-методическая газета «Математика» №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002. ОЛВЗМШ МГУ «Задачи с параметрами» «Система дополнительных занятий по математике 11 класс» С.А. Агалоков