Решение линейных уравнений с параметрами

Решение линейных уравнений с параметрами

Пусть дано уравнение 2х+3=х+а. Здесь х и а – переменные (неизвестные) величины. Переменная а при решении уравнения считается постоянной (т.е. это как бы зашифрованное число или несколько чисел) и называется параметром. Будем в уравнении буквами х, у, z, обозначать неизвестные, буквами a, b, c, d, …. k, l, m, n – параметры. Решить уравнение с параметром – значит указать при каких значениях параметров существуют значения х, удовлетворяющие данному уравнению.

Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений с параметрами. а·х=0 где х – переменная, а – параметр. Если а ≠0, то а·х=0 х=0:а х=0 Если а=0, то 0·х=0, равенство будет верно при любом х, х – любое. Ответ: а ≠0, х=0; при а=0, х – любое.

2. а·х=а, Рассмотрим возможные случаи. 1) Если а≠0, то а·х=а х=а:а х=1 2) Если а=0, то 0·х=0, равенство будет верно при любом значении х, х – любое. Ответ: при а≠0, х=1; а=0, х – любое. 3. 2х+3=х+а, преобразуем уравнение к виду: 2х–х=а–3 х=а–3 Это и будем единственным решением, т.к. числовой коэффициент при а равен 1, и нет необходимости выполнять деление, поэтому при любом значении а х=а–3. Ответ: при любом значении а х=а–3.

х+2=а·х Преобразуем уравнение. х–а·х=–2 Вынесем общий множитель х за скобку. х·(1–а)=–2 (1–а) ·х=–2 Рассмотрим следующие случаи. 1–а≠0 т.е. 1≠а или а≠1, тогда х=–2/(1–а); если 1–а=0 1=а а=1, тогда уравнение х+2=а·х будет выглядеть х+2=1·х х+2=х и, очевидно, решений не имеет. Ответ: при а≠1, х=–2/(1–а); при а=1 решений нет.

4. (3–а) ·х=2–5а. Возможны случаи: 1) 3–а≠0, тогда х=(2–5а)/(3–а) а≠3 3–а=0 а=3, тогда уравнение (3–а)·х=2–5а будет выглядеть (3–3)·х=2–5·3 0·х=2–15 0·х=–13 Решений нет. Ответ: а≠3, х=(2–5а)/(3–а); а=3, решений нет.

(3а+7)·х=15а+35. Возможны случаи. 1) 3а+7≠0, то есть 3а≠–7 а≠–7/3 тогда х=(15а+35)/(3а+7) х=5(3а+7)/(3а+7) х=5. 2) 3а+7=0 3а=–7 а=–7/3, тогда уравнение (3а+7)·х=15а+35 примет вид: (3(–7/3)+7)·х=15·(–7/3)+35 (–7+7)·х=–35+35 0·х =0 значит х – любое число. Ответ: а≠–7/3, х=(15а+35)/(3а+7); а=–7/3, х – любое число.

Упражнения для самостоятельной работы: ах=х+3 4+ах=3х+1 3х+1=а 5+х=ах 4=а·х ах=7 2х=3а сх=–5 8х=3с (5+b)·х=7+3b (5b–1)x=15b–3