Подготовка к ЕГЭ. Полезно знать

Подготовка к ЕГЭ. Полезно знать.

Задачи на смеси и сплавы Удобно решать с использованием следующих вспомогательных средств: каждая отдельная смесь (или сплав), фигурирующая в задаче, представляется в виде таблицы, в которой записывается информация о составе данной смеси.

Например, дан раствор соли с общей массой 500 и концентрацией соли 40 %. Представляем такой раствор в виде таблицы: 60 % 500 Слева от таблицы записывается масса всего раствора. В левой колонке таблицы записывается информация об основном компоненте раствора (в данной задаче это соль). В первой строке таблицы записывается концентрация, во второй масса компонента. Найденная величина массы помещается во второй строке таблицы Если при решении задачи понадобятся данные о втором компоненте раствора, то они заносятся во вторую колонку таблицы 200 300 ( ). ( ; ) соль вода 40 %

ПРАВИЛО: При смешивании нескольких растворов складываются как общие массы растворов, так и массы компонентов этих растворов.

Задача. Смешали 10%- ный и 25%- ный растворы соли и получили 3кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора (в кг) было использовано? Решение х 3 (3 – х) = + 0,1х 0,25(3-х) Имеем: 0,1x + 0,25(3- x) = 0,6 0,1x + 0,75 – 0,25x = 0,6 -0,15x = -0,15 x = 1 3 – x = 3 – 1 = 2 Ответ: 1 кг; 2 кг 0,6 соль вода 10% соль вода 25% соль вода 20%

Задача. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды? Решение - 0,5 х = 0,5 · 0,85 = 0,425 0,425 (0,5-х) 0,75( 0,5 – x) х Имеем: 0,425 - x = 0,75( 0,5 – x) 0,425 – x = 0,375 – 0,75x x - 0, 75x = 0,425 – 0,375 0,25x = 0,05 x = 0,2 Ответ: 200 кг цел-за вода 85% цел-за вода 100% цел-за вода 75%

Задача. Смешали 2л 60%- ного раствора соли с 3л 50%- ного раствора соли и к смеси добавили 1л чистой воды. Какова концентрация соли в полученной смеси? Решение 2 3 1 + + = = Символы «+» между таблицами показывают, что растворы смешиваются и, следовательно, соответствующие массы складываются. 1) Находим массу соли в первом растворе: 0,6 · 2 = 1,2 2) Находим массу соли во втором растворе: 0,5 · 3 = 1,5 Для каждого раствора имеем: Масса соли: 1,2 + 1,5 + 0 = общая раствора: 2 + 3 + 1 = 2,7 6 Имеем: 6 — 100% 2,7 — х% => х = 45% Ответ: 45% соль вода 60% соль вода Х % соль вода 50% соль вода 0% 0

Задачи на «сухой остаток» Задача. В магазин привезли 100 кг клюквы, состоящей на 99% из воды. После длительного хранения и усушки содержание воды в клюкве уменьшилось до 98%. Каким стал новый вес клюквы? Решение 99% 1% 100кг 1кг 1кг 98% 2% 1кг — 2% Xкг — 100% => х = — = 50 (кг) 100 2 Ответ: 50 кг клюква вода клюква вода

Решение 90% 10% 22кг 22 ∙ 0,1 = (кг) 2,2 – масса свежих грибов без воды Задача. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие содержат 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? 2,2 12% 100% - 12% = сухих грибов 88% 2,2 кг — 88% X кг — 100% => х = = 2,2 ∙ 100 88 = 22 ∙ 10 88 = 10 4 = 2,5 (кг) = Ответ: 2,5 кг грибы вода       грибы вода

Решить неравенство: (х-1) (х+8) 5-х ≥ 0 Решение Нули: 1 ; -8 ; 5 х Есть промежуток, которому принадлежит число 0 На этом промежутке установим знак. При х = 0 имеем: ( -1) ( +8) х х 5 - х ≥ 0 < - + + - э х (- ; -8] 8 ∩ [1 ; 5) Ответ: (- ; -8] 8 ∩ [1 ; 5)

«Шутливые» законы I: Увидел сумму – делай произведение II: Увидел произведение – делай сумму III: Увидел квадрат – понижай степень Совет: Если не знаешь, с чего начать преобразование тригонометрических выражений (за что «зацепиться»), начни с этих законов. Тригонометрические выражения во многих случаях подчиняются трём «законам»:

Решить уравнение: sin2x ∙ sin6x = cosx ∙ cox3x увидел произведение – делай сумму : Решение 1 2 (cos (2x–6x) – cos (2x+6x)) = 1 2 (cos (x-3x) + cos (x+3x)) сos 4x – cos8x = cos 2x + cos4x (- ) (- ) cos4x – cos8x = cos2x + cos4x cos2x + cos8x = 0 увидел сумму – делай произведение : 2cos 2x+8 2 ∙ cos 2x-8x 2 = 0 сos5x ∙ cos(-3x) = 0 сos5x = 0 или cos3x = 0 5x = ∏ 2 + ∏k или 3x = ∏ 2 + ∏k x ∏ 10 = ∏k 5 + x = ∏ 6 ∏k + 3 (k Z) Э

Решить уравнение: cos 2x + cos 3x = 1 2 2 Решение увидел квадрат – понижай степень : 1 + cos4x 2 + 1 + cos6x 2 = 1 2 0 увидел сумму – делай произведение : 2cos 4x + 6x 2 ∙ cos 4x - 6x 2 = 0 cos5x ∙ cos(-x) = 0 5x = ∏ 2 ∏k + или cos5x = 0 или сos(-x)=0 x ∏ 2 ∏k + = ∏ 10 ∏k + x = 5 ∏ 10 ∏k + 5 ∏ 2 ∏k + ; Ответ: (k Z) Э

Фронтальная работа (взаимная проверка) Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения 1)Приведение к квадратному; 2)приведение к однородному; 3)разложение на множители; 4)понижение степени; 5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Вариант I Уравнение Способы решения 1 2 3 4 5 3sin2x+cos2x=1- sinxcosx 4cos2x-cosx-1 =0 4sin2x+cos2x=1 cosx+cos3x=0 2Sinxcos5x-cos5x=0 ВариантII Уравнение Способы решения 1 2 3 4 5 2sinxcosx – sinx=0 3cos2x-cos2x=1 6sin2x+4 sinxcosx=1 4sin2x+11sinx=3 sin3x=sin17x

Проверяем Вариант I Вариант II 1 2 3 4 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 2 3 4 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

Экспертная работа

Метод декомпозиции Исходное неравенство О.Д.З. Декомпозиция неравенства (равносильное исходному на О.Д.З.) а f(x) - a g(x) V 0 a > 0, a = 1 D(f) D(g) log f(x)- log g(x)V 0 a a а > 0, а = 1 f(x) > 0 g(x)>0 (a – 1)(f(x) – g(x))v0 (a – 1)(f(x) – g(x))v0

Решить неравенство 1) О.Д.З. log x -9 x + 5x 2 2 x+2 ≤ log 1 x+2 Решение. x -9 x + 5x 2 2 > 0 x + 2 > 0 x + 2 = 1 (x – 3)(x + 3) x(x + 5) x > - 2 x = -1 x x x -5 -3 0 3 -2 -1 x Э (-2;-1) U (-1; 0) U ( 3; ∞) > 0

2) log x -9 x + 5x 2 2 x+2 log 1 x+2 ≤ О.Д.З (x + 2 – 1)( - 1) x -9 x + 5x 2 2 ≤ 0 О.Д.З (x + 1)( x(x + 5) x -9 - x - 5x ) 2 2 ≤ 0 (x + 1) ( -5x – 9) x(x + 5) ≤ 0 О.Д.З (x + 1) ( 5x + 9) x(x + 5) ≥ 0 x x -5 -1,8 -1 3 -2 0 -1 0 x Э [ -1,8 ;-1) U ( 3; ∞) Ответ: [ -1,8 ;-1) U ( 3; ∞) О.Д.З О.Д.З О.Д.З О.Д.З. log - x+2 x -9 x + 5x 2 2 log 1 x+2 ≤ 0 О.Д.З

Решить неравенство - (0,5) x +3x-2 2 2x +2x-1 2 x ≤ 0 Решение. 1) О.Д.З. 5 - 1 = 0, х = 0 x 2) На О.Д.З. имеем: 2 - 2 5 - 5 2x +6x-4 2 2 x ≤ 0 1-2х-2х 0 (2 – 1)( (5 – 1)(х – 0) 2x + 6x - 4 - 2 2 (1-2х-2х )) ≤ 0 2x + 6x - 4 - 2 2 1+ 2х + 2х ≤ 0 х 4х + 8х -5 х 2 ≤ 0 4( x - )( x +2,5) x ≤ 0 0 0 x x x Э ( - ∞ ; ] U ( 0; ] 5 - 1 -2,5 0,5 0,5 -2,5 0,5 О.Д.З