Презентация на тему "Предел последовательности"

Предел последовательности

Определение: Функцию 𝑓=𝑓(𝑛), заданную на множестве всех натуральных чисел, или n первых натуральных чисел называют последовательностью и обозначают {an}
Элементы, образующие последовательность, называются членами последовательности и называются соответственно первым, вторым, третьим,… n- ным членами последовательности 
Обозначают члены последовательности так 
а1; а2; а3; а4; … аn
где n – номер члена последовательности
an – называют общим, или n-ым членом последовательности

Например,
Найдите первый, пятый и десятый член последовательности 𝑎 𝑛 = 3𝑛−1 2 𝑛
Решение:
𝑎 1 = 3∙1−1 2 = 2 2 =1
𝑎 5 = 3∙5−1 2 5 = 14 32 = 7 16
𝑎 10 = 3∙10−1 2 10 = 29 1024

Способы задания последовательности
Аналитический
– это способ задания последовательности
с помощью формулы n-ого члена
Графический
-это способ задания последовательности при помощи графика
Рекуррентный
- это способ задания последовательности с помощью рекуррентной формулы
Например,
𝑎 𝑛 : 𝑎 𝑛 =3𝑛+4
𝑎 1 =3+4=7
𝑎 8 =3∙8+4=28
Например,
𝑎 𝑛+2 = 𝑎 𝑛 + 𝑎 𝑛+1 ,
𝑎 1 = 𝑎 2 =1
𝑎 3 = 𝑎 1 + 𝑎 2 =1+1=2
𝑎 4 = 𝑎 2 + 𝑎 3 =1+2=3

Виды последовательностей
Последовательность {аn} называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство аn  M ( аn  M)
Например,
𝑏 𝑛 : 1 2 ; 1 4 ; 1 8 ; 1 16 ;…; 1 2 𝑛
Ограничена сверху
𝑐 𝑛 :1;2;4;8;16;…; 2 𝑛
Ограничена снизу
Последовательность, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной

Последовательность {аn} называется возрастающей (убывающей), если для всех n выполняется неравенство аn+1 > аn (аn+1 < аn)
Например,
𝑎 𝑛 :1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ;…; 1 𝑛
- убывающая последовательность
𝑏 𝑛 :−3;−1;1;3;5;7;9;…;2𝑛−4
- возрастающая последовательность

Последовательность {an} называется невозрастающей (неубывающей), если для всех n выполняется неравенство
an+1  an (an+1  an)
Например,
𝑎 𝑛 : 1 3 ; 1 9 ; 1 9 ; 1 27 ; 1 27 ; 1 27 ,…
-невозрастающая последовательность
Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности называются монотонными

Предел последовательности
Отметим на числовой прямой несколько первых членов последовательностей 𝑎 𝑛 и 𝑐 𝑛 .

𝒂 𝒏 : 𝒂 𝒏 = 𝟏 𝒏
n
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 7
1 6
1 8
0
𝑎 8
𝑎 7
𝑎 6
𝑎 5
𝑎 4
𝑎 3
𝑎 2
𝑎 1
𝒄 𝒏 : 𝒄 𝒏 = 𝒏 𝒏+𝟏
0
1
7 8
6 7
5 6
4 5
3 4
2 3
1 2
𝑐 1
𝑐 2
c 3
𝑐 4
𝑐 5
𝑐 6
𝑐 7
n

Число а называется пределом последовательности {an}, если для любого >0 существует такой номер n, что для всех номеров n > N выполняется неравенство 𝑎 𝑛 −𝑎 <𝜀
lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 =𝑎
lim 𝑛→∞ 1 𝑛 = 0
lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛+1 =1
Последовательность {an} называется сходящейся, если существует ее конечный предел
Если предел последовательности {an} не существует, или равен бесконечности, то последовательность называется расходящейся

Свойства сходящихся последовательностей
Если последовательность {an} имеет предел, то он единственный
2) Предел постоянной последовательности равен этой постоянной
lim 𝑛→∞ 𝐶 =𝐶
3) Если lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 =𝑎 , то lim 𝑛→∞ 𝐶∙ 𝑎 𝑛 =С∙𝑎
4) Если последовательность {an} сходится к числу а, то она ограничена
5) Если последовательность {an} монотонная и ограниченная, то она имеет предел

6) Если lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 =𝑎 и lim 𝑛→∞ 𝑏 𝑛 =𝑏, то
lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 =𝑎+𝑏
lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 =𝑎−𝑏
lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 ∙ 𝑏 𝑛 =𝑎∙𝑏
lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑎 𝑏 , 𝑏≠0
Например, вычислить предел lim 𝑛→∞ 5 𝑛 −3
Решение:
lim 𝑛→∞ 5 𝑛 −3 = 5 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 − lim 𝑛→∞ 3 =
=5∙0−3=−3

Например, вычислите пределы:
1) lim 𝑛→∞ 5 𝑛 3 + 3 𝑛 +4 =
= 5 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 3 +3 lim 𝑛→∞ 1 𝑛 + lim 𝑛→∞ 4 =
=0+0+4=4
2) lim 𝑛→∞ 3𝑛+2 5𝑛−1 =
= lim 𝑛→∞ 𝑛(3+ 2 𝑛 ) 𝑛(5− 1 𝑛 ) = lim 𝑛→∞ 3+ 2 𝑛 5− 1 𝑛 = 3 5

Число е
Рассмотрим последовательность
𝑎 𝑛 = 1+ 1 𝑛 𝑛
Запишем четыре первых члена последовательности
𝑎 1 =2;
𝑎 2 = 9 4 ≈2,25;
𝑎 3 = 64 27 ≈2,37;
𝑎 4 = 625 256 ≈2,44

Доказано, что последовательность {аn} монотонная и ограниченная, значит, она имеет конечный предел. Этот предел называют вторым замечательным пределом и обозначают е.
lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 𝑛 =𝑒
Число е иррациональное , 𝑒≈2,71828…

Например, вычислите предел
lim 𝑛→∞ 1+ 5 𝑛 2𝑛
Решение:
lim 𝑛→∞ 1+ 5 𝑛 2𝑛 =
= lim 𝑛→∞ 1+ 1 𝑛 5 𝑛 5 5 𝑛 ∙2𝑛 = 𝑒 10

Задания для самостоятельного решения
1) По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности
1) 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 −2𝑛; 2) 𝑎 𝑛 = 5𝑛−2 2𝑛 ;
3) 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 𝑛 2 +1 ; 4) 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 +2 2𝑛−3 .
2) Укажите номер члена последовательности 𝑎 𝑛 = 3𝑛−2 𝑛+5 , равного:
1) 1,3; 2) 4 7 ; 3) 1 13 15 .

3) Вычислите предел последовательности:
1) 𝑎 𝑛 = 5 𝑛 + 8 𝑛 − 9 𝑛 3 ; 2) 𝑎 𝑛 =3− 1 𝑛 2 − 7 𝑛 + 2 3 𝑛 ;
3) 𝑎 𝑛 = 3 𝑛 + 5 𝑛 4 − 1 𝑛 3 ; 4) 𝑎 𝑛 = 5 𝑛 − 4 4 𝑛 +7;
5) 𝑎 𝑛 = 4𝑛+3 3𝑛−1 ; 6) 𝑎 𝑛 = 5𝑛+4 2−𝑛 ;
7) 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 +3𝑛−7 𝑛 2 ; 8) 𝑎 𝑛 = 𝑛 3 +4 𝑛 2 +3𝑛−1 𝑛 3 ;
9) 𝑎 𝑛 = 7 3 𝑛 ; 10) 𝑎 𝑛 =5∙ 2 −𝑛 ;
11) 𝑎 𝑛 = 5∙ 2 𝑛 +3 2 𝑛 ; 12) 𝑎 𝑛 = 1+ 3 𝑛 5𝑛 ;
13) 𝑎 𝑛 = 1− 3 𝑛 2𝑛 ; 14) 𝑎 𝑛 = 𝑛+1 𝑛 8𝑛 ;
15) 𝑎 𝑛 = 𝑛−5 𝑛 𝑛 10 ; 16) 𝑎 𝑛 = 𝑛+4 𝑛 2𝑛 .

Домашнее задание:
1) По заданной формуле n-го члена вычислите первый, третий, седьмой и десятый член последовательности.
1) 𝑎 𝑛 = 7𝑛−𝑛 2 ; 2) 𝑎 𝑛 = 3𝑛+1 5𝑛 .
2) Вычислите предел последовательности:
𝑎 𝑛 = 4 𝑛 2 − 5 𝑛 − 3 𝑛 5 ; 2) 𝑎 𝑛 =2+ 1 𝑛 2 − 4 𝑛 ;
3) 𝑎 𝑛 = 2𝑛−7 6𝑛+5 ; 4) 𝑎 𝑛 = 4𝑛+1 3−𝑛 ;
5) 𝑎 𝑛 = 𝑛 2 −5𝑛−1 𝑛 2 ; 6) 𝑎 𝑛 = 𝑛 4 +2 𝑛 2 −5𝑛−1 𝑛 4 ;
7) 𝑎 𝑛 = 1+ 2 𝑛 3𝑛 ; 8) 𝑎 𝑛 = 𝑛+4 𝑛 2𝑛 .