Гипербола и гиперболические функции

Научно-исследовательская работа по математике
Тема: «Гипербола и гиперболические функции.»
Работу выполнила
Бондаренко Эллина
Ученица 9 «А» класса
Научный руководитель
Коротун Ольга Викторовна
Учитель математики

1.Введение.
2.Определение гиперболы.
3.Понятие гиперболической функции
4.Графики гиперболической функции.
5.Применение гиперболы и её фунции.
Содержание

При изучении алгебры мало внимания уделяется гиперболе и её функции . Эта тема изучается неглубоко, поэтому я решила углубить свои знания по этой теме и узнать , где я могу встретить и применить свойства и определение гиперболы.
Проблема исследования заключается в выявлении применения определения гиперболы в современном мире.
Введение

Термин «гипербола» был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 года до н.э.).
Гипербола может быть определена несколькими путями:
1.Коническое сечение.
2.Как геометрическое место точек.
1)Через фокусы
2)Через директрису и фокус

Определение гиперболы

Коническое сечение


Гипербола может быть определена как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающиеся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Гипербола может быть определена как геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.
Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний от любой её точки до фокусов — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.
Через фокусы

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой.
Через директрису и фокус

1.Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
2. Для любой точки, лежащей на гиперболе, отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
3.Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.
4. Отрезок касательной в каждой точке гиперболы, заключенный между двумя асимптотами гиперболы, делится точкой касания пополам и отсекает от двух асимптот треугольник постоянной площади.

Свойства гиперболы

Функция-это одно из основных математический и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.
Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.
Гиперболические функции задаются следующими формулами:
Гиперболический синус
sh x = (ex - e-x)/2
Гиперболический косинус 
ch x = (ex + e-x)/2
Гиперболический тангенс 
th x = (ex - e-x)/(ex + e-x)
Понятие гиперболической функции

Графики гиперболической функции

Применение гиперболы и гиперболической функции
Применение гиперболы для определения местонахождения
Гиперболические функции находят применение в электротехнике , строительной механике и др.

Спасибо за внимание!