Первообразная

Определение первообразной Основное свойство первообразной Три правила нахождения первообразных

Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F (x) = f(x) F(x) = x3/3 есть первообразная для функции f(x)=x2 на интервале (- ; ), так как F (x) = (x3/3) = 1/3(x3) = 1/3*3x2 = x2 = f(x) для всех x (- ; ).

Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, Где F(x) – одна из первообразных для функции f(x) на промежутке I, а С – произвольная постоянная. Признак постоянства функции Если F (x) = 0 на некотором промежутке I, то функция F – постоянная на этом промежутке.

Какое бы число не подставить в формулу С получим первообразную для функции f на промежутке I. Какую бы первообразную F для f на промежутке I не взять, можно подобрать такое чисто С, что для всех значений x из промежутка I выполнится равенство F (x) = F(x) + C График двух любых первообразных для функции получается путем параллельного переноса вдоль оси OY.

Функция f k (постоянная) xn (n Z, n 1) 1 √x sin x cos x 1 cos2 x 1 sin2 x Общий вид первообразных kx + C xn + 1 n + 1 2√x + C -cos x + C sin x + C tg x + C -ctg x + C

Пример 1 f(x) = -x3, найти F(x) F (x) = -x4/4, так как (-x4/4) = -x3 Общий вид первообразной: F(x) = -x4/4 + C Пример 2 f(x) = 1/x2, найти F0(x) на (0; ), F(1) = 1 F(x) = -1/x + C -1/1 + C = 1 -1 + C = 1 C = 2 F0(x) = -1/x + 2

Правило 1 Если F есть первообразная для f, а G – первообразная для g, то F + G есть первообразная для f + g: (F + G) = F + G = f + g Пример f(x) = x3 + 1/x2, найти F(x) (x3) = x4/4 (1/x2) = -1/x, => F(x) = x4/4 - 1/x + C

Правило 2 Если F есть первообразная для f, а k - постоянная, то функция kF – первообразная для kf: (kF) = kF = kf Пример f(x) = 5cosx, найти F(x) (cosx) = sinx, => F(x) = 5sinx + C

Правило 3 Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b – постоянные, причем k 0, то 1/k*F(kx + b) есть первообразная для f(kx + b): (1/k*F(kx + b) ) = 1/k*F (kx + b) * k = f(kx + b) Пример f(x) = 1/(7 - 3x)5, найти F(x) (1/x5) = -1/4x4 F(x) = -1/3 * (-1)/4(7 - 3x)4 = 1/12(7 - 3x)4 F(x) = 1/12(7 - 3x)4 + C