первообразная

Презентация на тему: «Первообразная»

Первообразной для функции f(x) на некотором интервале называется такая функция F(x), производная которой равна этой функции f(x) для всех x из указанного интервала: F′(x)=f(x). Определение

Свойства первообразной  1.Первообразная суммы равна сумме первообразных 2.Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции 3.Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность . 4.Необходимыми условиями являются принадлежность функции  первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу. 5.У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Основное свойство первообразных Пусть функции F1 и F2 являются первообразными функции f(x) на некотором промежутке. Тогда для всех значений из этого промежутка справедливо следующее равенство: F2=F1+C, где C – некоторая константа.

Правила вычисления первообразных

Правило 1 Если F есть первообразная для некоторой функции f, а G есть первообразная для некоторой функции g, то F + G будет являться первообразной для f + g. По определению первообразной F’ = f. G’ = g. А так как эти условия выполняются, то по правилу вычисления производной для суммы функций будем иметь:  (F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Правило 2 Если F есть первообразная для некоторой функции f, а k – некоторая постоянная. Тогда k*F есть первообразная для функции k*f. Это правило следует из правила вычисления производной сложной функции. Имеем: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Правило 3 Если F(x) есть некоторая первообразная для функции f(x), а k и b есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда (1/k)*F*(k*x+b) будет первообразной для функции f(k*x+b). Данное правило следует из правила вычисления производной сложной функции: ((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы,тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Спасибо за внимание!

Выполнила студентка групы СО-11 Кононенко Юлия