Выпуклость и вогнутость функции

Выпуклость и вогнутость функции Презентация к уроку по учебнику «Алгебра и начала анализа, 10-11» под редакцией Ш.А.Алимова , § 53 Автор презентации Бартош Наталья Владимировна, учитель математики 587 гимназии г. Санкт-Петербурга

Вариант 1 Самостоятельная работа x³ y = e y = ln (x² +1) Построить график функции Вариант 2

x³ y = e

y = ln (x² +1)

Дана функция у = f (x) На интервале (а, b) функция у = f (x) непрерывна и дифференцируема, причем f '(x) >0 Постройте эскиз графика функции у = f (x) интервале (а, b) а b у

Дана функция у = f (x) Чем отличается поведение линий? Одна из них – отрезок прямой Другая проходит над отрезком Третья – под отрезком А четвертая – частично над отрезком, частично под ним а b у

В математике для обозначения такого поведения существуют специальные понятия: выпуклости и вогнутости графика функции

Выпуклость и вогнутость функции Геометрический смысл второй производной

Выпуклая вверх (выпуклая кривая) Кривая называется выпуклой вверх в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной у а х

Выпуклая вниз (вогнутая кривая) Кривая называется выпуклой вниз в точке х = а, если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной у а х

Кривая выпуклая вверх на интервале (выпуклая) у 0 a b х

Кривая выпуклая вниз на интервале (вогнутая) у 0 a b х

Как найти интервалы выпуклости и вогнутости?

м1 м2 м3 α1 α2 α3 График функции у = f (х) – вогнутая кривая Величина углов α1, α2, α3… растет, увеличиваются и тангенсы этих углов В точках М1, М2, М3… проведены касательные α1 < α2 < α3 < …

м1 м2 м3 α1 α2 α3 График функции у = f (х) – вогнутая кривая В точках М1, М2, М3… проведены касательные α1 < α2 < α3 < … тангенсы углов α1, α2, α3… увеличиваются tgα = f′(х) , следовательно, возрастает функция f′(х) Если функция возрастает, то ее производная положительна Производная функции f′(х) – это производная производной (f ′(х))′ = f ′′(х) и f ′′(х) >0 Вывод: Если график функции – вогнутая кривая, то вторая производная этой функции – положительна.

α1 График функции у = f (х) – выпуклая кривая tgα = f′(х) , следовательно, убывает функция f′(х) В точках М1, М2, … проведены касательные производная функции y = f ′(х) (f ′(х))′ = f ′′(х) - отрицательна, т.е. f ′′(х) < 0 м1 м2 α1 α2 α1 > α2 > α3 > … тангенсы углов α1, α2, α3… убывают Вывод: Если график функции – выпуклая кривая, то вторая производная этой функции – отрицательна.

Если вторая производная функции у = f (х) на данном интервале положительна, то кривая вогнута а если отрицательна – выпукла в этом промежутке

Точки, в которых выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба

Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости графика функции: Найти: Вторую производную Точки, в которых она равна нулю или не существует Интервалы, на которые область определения разбивается этими точками Знаки второй производной в каждом интервале Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла, если f '‘(х) > 0 – вогнута.

Исследование функции с помощью второй производной Интервалы выпуклости: (-3, 0) и (2, 5) Интервалы вогнутости: (-∞, -3), (0, 2) и (5, +∞) -3 0 2 5 f х = -3, х = 0, х = 2 х = 5 – точки перегиба + - + - + f‘‘

График функции у = f (х) – вогнутая кривая График функции у = f (х) – выпуклая кривая «+» «-»

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба Вариант 1 у = х³ - 12х + 4 Вариант 2 у = ¼ х4 – 3/2 х²

Проверка Вариант 1 у = х³ - 12х + 4 х – любое число f'(х) = 3х² - 12 f''(х) = 6х 6х = 0 х = 0 Интервалы выпуклости: (-∞, 0) Интервалы вогнутости: (0, +∞) - + f ‘‘ 0 f х = 0 – точка перегиба

Проверка Вариант 2 у = ¼ х4 – 3/2 х² х – любое число f'(х) = х³ - 3х f''(х) = 3х² - 3 = 3(х – 1)(х + 1) х = 1 х = -1 Интервалы выпуклости: (-1, 1) Интервалы вогнутости: (-∞, -1) и (1, +∞) + - + f‘‘ -1 1 f х = 1 и х = -1 – точки перегиба

Спасибо за работу Успехов!