Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

Задачи для школьников: Знать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника. 2. Уметь применять свойство при решении задач.

Повторение. Треугольник, у которого 2 стороны равны, называется равнобедренным треугольником D С E B D A C H M DM – медиана треугольника АDВ. AM = MB DC– биссектриса треугольника АDВ.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. A С B Дано: ABC – равнобедренный; АC – основание; BD - биссектриса. Доказать: BD – медиана; BD – высота. Доказательство. 1 2 1) В ABD и DBC известно: AB = BC (по условию) BD = BD (общая) < 1 = < 2 (BD – биссектриса) ABD = ВDС ( СУС) 2) В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Значит, АD = DС. Следовательно, BD- медиана ABC. D 3) ABD = ВDС. Отсюда < 3 = < 4 4 3 < 3 и < 4 - смежные < 3 = 90о; < 4 = 90о. Значит, BD AC. Следовательно, BD - высота ABC

A С D B Биссектриса Медиана Высота Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. 2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. 3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Задача. В треугольнике ABC стороны ВС и АВ равны, BD – медиана, < АВС = 40 о. Найдите < DBC и < BDC. A С B D Дано: ABC; AB = BC; BD – медиана, < АВС = 40 о Найти : < DBC и < BDC. Решение. 1) В АВС известно, что АВ = ВС, значит, АВС - равнобедренный. 2) BD – медиана в равнобедренном АВС, проведенная к основанию, значит, ВD - биссектриса. Следовательно, < DBC = ½ * < ABC = ½*40o = 20o 3) BD – медиана в равнобедренном АВС, проведенная к основанию, значит, ВD - высота. Следовательно, BD AC. Отсюда < BDC = 90o 40о