Квадрат Пирсона

Выполнил: Снежко Никита Руководитель: учитель математики, Тамахина Галина Васильевна г.Воронеж, 2008 *

Однажды во время летних каникул, мама спросила меня, сколько частей девятипроцентного и семидесятипроцентного уксуса надо взять, чтобы получить тридцатипроцентный раствор. Сначала я решил эту задачу с помощью уравнения: Пусть х – количество частей 9%-ого уксуса, а у – количество частей 70%-ого. Тогда мы сложим произведения частей на процентное содержание и получим 9х+70у. Знаем, что это равно произведению 30 на сумму х и у. По условию задачи составим и решим уравнение. 9х + 70у = 30(х+у); 9х + 70у = 30х + 30у; 40у = 21х; Этот ответ означает, что мы должны взять 40 часть 9%-ого раствора и 21 часть 70%-го. *

В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ (в). Строится квадрат, и проводятся его диагонали В правом нижнем углу после вычитания из а с получают у. В правом верхнем углу после вычитания из с в получают х. На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости (с). Мы получаем, что нам надо взять х частей с концентрацией а и у частей с концентрацией в, и мы получим смесь с концентрацией с%. В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ (а). Но эту задачу можно решить намного легче, используя квадрат Пирсона. Вот как это делается. *

У нас получился тот же самый ответ. *

Если мы обратимся к формулам, то докажем, что квадрат Пирсона всегда будет прав. Мы получаем, что частей смеси здесь будет х + у =(с – в) + (а – с)=а – в; «Чистого вещества» в смеси будет: х*а + у*в = (с-в)а+(а-с)в = а*с-в*с; 100 100 100 100 А крепость смеси будет равна: а*с-в*с = с . 100(а-в) 100 , или с%. Задачи, которые можно решить при помощи квадрата Пирсона Встречаются даже на Едином Государственном экзамене. Например: *

В ювелирную мастерскую поступило два сплава золота различной пробы: 58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота нужно взять, чтобы получить 37г сплава с 70%-ным содержанием золота? Пусть k- коэффициент пропорциональности. 12k+25K=37; k=1. Значит, мы должны взять 12 г золота с 70% концентрации. *

Пусть k- коэффициент пропорциональности. 2k=100; k=50. 7k=50*7=350; Значит, мы должны взять 350 г воды, чтобы получить раствор нужной концентрации. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? *

Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать 2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума? Пусть k- коэффициент пропорциональности. 2k=80; k=40. 53k=53*40=2120; Значит, мы должны взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума. *

Но задачи, решаемые с помощью квадрата Пирсона встречаются и в различных олимпиадах. Например, мне встретилась очень интересная задача во время решения заданий заочной школы при Московском физико-техническом университете. Вот она: При переработке молока жирностью 5,8 % получают творог и сыворотку жирностью 19,33% и 0,63% соответственно. Сколько килограмм творога получат при переработке 18,7 кг творога? Давайте решим её с помощью квадрата Пирсона. *

Пусть k- коэффициент пропорциональности. 5,17k+13,53k=18,7; k=1. 5,17k=5,17*1=5,17; Значит, мы получим 5,17 кг творога. *

Используемая литература: 1.Дрофеев Г. В., Петерсон Л. Г. Математика 6 класс – М.: «Баласс», «Ювента», 2004. – 128с.:с ил. 2.Т II Математика глав. ред. М. Д. Ансенова. – М.: «Аванта +», 1998. – 688 с.: ил. 3.Квант №3, 1973 г. 4.Я. И. Перельман «Занимательная математика»; издательство «Наука». – М., 2005 5. «Математический праздник» Часть III.- М.: «Бюро Квантум», 2001. – 128 с. 6.Иду на экзамен №2 2007г.«Математика для школьников». *