Фигуры вращения

ПОВОРОТ Пусть теперь в пространстве задана прямая a и точка A, не принадлежащая этой прямой. Через точку A проведем плоскость α, перпендикулярную прямой a, и точку пересечения a и обозначим O. Говорят, что точка A' пространства получается из точки A поворотом вокруг прямой a на угол φ, если в плоскости α точка A' получается из точки A поворотом вокруг центра O на угол φ. Преобразование пространства, при котором точки прямой a остаются на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг этой прямой (в одном и том же направлении) на угол φ называется поворотом, или вращением. Прямая a при этом называется осью вращения.

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Говорят,что фигура Ф в пространстве получена вращением фигуры F вокруг оси a, если точки фигуры Ф получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг оси a. Фигура Ф при этом называется фигурой вращения. При вращении точки A вокруг прямой a получается окружность. Сфера получается вращением окружности вокруг ее диаметра. Аналогично, шар получается вращением круга вокруг какого-нибудь его диаметра.

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Усеченный конус получается вращением трапеции, один из углов которой является прямым, вокруг боковой стороны, прилегающей к этому углу.

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Если окружность вращать вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и не имеющей с этой окружностью общих точек, то полученная поверхность вращения называется тором и по форме напоминает баранку или бублик. При вращении эллипса вокруг его оси получается поверхность, называемая эллипсоидом вращения.

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ При вращении параболы вокруг ее оси получается поверхность, называемая параболоидом вращения. При вращении гиперболы вокруг ее оси получается поверхность, называемая гиперболоидом вращения.

ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ Если прямая параллельна оси, то при вращении получается фигура, называемая цилиндрической поверхностью. Если прямая пересекает ось, то при вращении получается фигура, называемая конической поверхностью.

ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ Теорема. При вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения, получается гиперболоид вращения.

ВРАЩЕНИЕ КУБА 1 При вращении куба вокруг диагонали получается фигура, поверхность которой состоит из боковых поверхностей двух конусов и поверхности гиперболоида вращения.

ВРАЩЕНИЕ КУБА 2 При вращении куба вокруг прямой, соединяющей середины двух противоположных ребер, получается фигура, поверхность которой состоит из двух кругов и двух поверхностей гиперболоидов вращения.

Упражнение 1 Какая фигура получается при вращении отрезка OA вокруг прямой, проходящей через точку O и перпендикулярной OA? Ответ: Круг.

Упражнение 2 Назовите прямые, при вращении вокруг которых данного прямоугольника получается цилиндр. Ответ: Прямые, пересекающие прямоугольник по отрезку, параллельному его стороне.

Упражнение 3 Какая фигура получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей высоту, опущенной на основание этого треугольника? Ответ: Конус.

Упражнение 4 Какая фигура получается при вращении полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр? Ответ: Круг.

Упражнение 5 Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет? Ответ: Конус.

Упражнение 6 Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, и проходящей через вершину острого угла перпендикулярно катету?

Упражнение 7 Какая фигура получается вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника, перпендикулярной гипотенузе и проходящей через вершину острого угла.

Упражнение 8 Какая фигура получается вращением остроугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его сторону? Ответ: Фигура, состоящая из двух конусов с общим основанием.

Упражнение 9 Какая фигура получается вращением остроугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника и проходящей через его вершину перпендикулярно стороне?

Упражнение 10 Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, прилегающую к тупому углу? Ответ: Фигура, полученная из конуса, вырезанием из него другого конуса.

Упражнение 11 Какая фигура получается вращением тупоугольного треугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника и проходящей через вершину тупого угла параллельно противолежащей стороне? Ответ: Цилиндр с вырезанными внутри двумя конусами, имеющими общую вершину.

Упражнение 12 Какая фигура получается вращением прямоугольника вокруг прямой, лежащей в плоскости этого прямоугольника, параллельной его стороне, и не имеющей с ним общих точек?

Упражнение 13 Какая фигура получается вращением трапеции вокруг прямой, содержащей меньшее её основание?

Упражнение 14 Какая фигура получается вращением трапеции вокруг прямой, содержащей большее её основание?

Упражнение 15 Какая фигура получается при вращении куба вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней. Ответ: Цилиндр.

Упражнение 16 Какая фигура получится при вращении правильной n-угольной призмы вокруг прямой, проходящей через центры ее оснований? Ответ: Цилиндр.

Упражнение 17 Какая фигура получается при вращении правильной n-угольной пирамиды вокруг прямой, содержащей ее высоту? Ответ: Конус.

Упражнение 18 Какая фигура получается при вращении тетраэдра вокруг прямой, соединяющей середины скрещивающихся ребер?

Упражнение 19 Какая фигура получается при вращении октаэдра вокруг прямой, проходящей через противоположные вершины?

Упражнение 20 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Упражнение 21 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Упражнение 22 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Упражнение 23 Вращением графика какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?

Упражнение 24 Тетраэдр повернут вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 90о. Какая фигура является объединением и пересечением исходного тетраэдра и повернутого?

Упражнение 25 Куб повернут вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, на угол 45о. Какая фигура является общей частью исходного куба и повернутого?

Упражнение 26 Куб повернут вокруг диагонали на угол 60о. Какая фигура является общей частью исходного куба и повернутого?

Упражнение 27 Куб повернут вокруг прямой, соединяющей середины противоположных ребер, на угол 90о. Какая фигура является общей частью исходного куба и повернутого?

Упражнение 28 Октаэдр повернут вокруг прямой, соединяющей противоположные вершины, на угол 45о. Какая фигура является общей частью исходного октаэдра и повернутого?

Упражнение 29 Октаэдр повернут вокруг прямой, соединяющей центры противоположных граней, на угол 60о. Какая фигура является общей частью исходного октаэдра и повернутого?