Уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости в пространстве Теорема. Плоскость в пространстве задается уравнением где a, b, c, d - действительные числа, причем a, b, c одновременно не равны нулю и составляют координаты вектора , перпендикулярного этой плоскости и называемого вектором нормали. ax + by + cz + d = 0, Угол между двумя пересекающимися плоскостями, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 можно найти, используя формулу

Упражнение 1 Дана плоскость: а) 5x-y-1=0; б) 3x+18z-6=0; в) 15x+y-8z+14=0; г) x-3y+15z=0. Назовите координаты вектора нормали. Ответ: а) (5, -1, 0); б) (3, 0, 18); в) (15, 1, -8); г) (1, -3, 15).

Упражнение 2 Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку M(-1, 2, 1), с вектором нормали, имеющим координаты: а) (0, -5, 2); б) (6, -1, 3); в) (-4, -2, -1); г) (-3, -8, 0). Ответ: а) -5y+2z+8=0; б) 6x-y+3z+5=0; в) -4x-2y-z+1=0; г) -3x-8y+13=0.

Упражнение 3 В каком случае два уравнения a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0 задают: а) одну плоскость; б) две параллельные плоскости? Ответ: а) Если для некоторого числа t выполняются равенства a2=ta1, b2=tb1, c2=tc1, d2=td1; б) Если для некоторого числа t выполняются равенства a2=ta1, b2=tb1, c2=tc1 и неравенство d2 td1;

Упражнение 4 В каком случае две плоскости, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y + c2z + d2 = 0, перпендикулярны? Ответ: Если выполняется равенство a1a2 + b1b2 + c1c2 =0.

Упражнение 5 Найдите уравнения координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz. Ответ: z = 0, y = 0, x = 0.

Упражнение 6 Дана плоскость x + 2y - 3z – 1 = 0. Найдите ее точки пересечения с осями координат.

Упражнение 7 Точка H(-2, 4, -1) является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Напишите уравнение этой плоскости. Ответ: 2x-4y+z+21=0.

Упражнение 8 Напишите уравнение плоскости, которая: а) проходит через точку M (1,-2,4) и параллельна координатной плоскости Oxz; б) проходит через точку M (0,2,0) и перпендикулярна оси ординат; в) проходит через точки A(3,0,0), B(0,3,0) и параллельна оси аппликат. Ответ: а) y=-2; б) y=2; в) x+y=3.

Упражнение 9 Определите, какие из перечисленных ниже пар плоскостей параллельны между собой: а) x + y + z - 1 = 0, x + y + z + 1 = 0; б) x + y + z - 1 = 0, x + y - z - 1 = 0; в) -7x + y + 2z = 0, 7x - y - 2z - 5 = 0; г) 2x + 4y + 6z - 8 = 0, -x - 2y - 3z + 4 = 0. Ответ: а), в).

Упражнение 10 Как расположены относительно друг друга следующие плоскости: а) 5x-y+7z-8=0 и 5x-2y+14z-16=0; б) x-y+z=0 и -6x+12y-24z=0; в) 15x+9y-30z+12=0 и -10x-6y+20z-8=0; г) -2x-2y+4z+14=0 и 3x+3y-6z+21=0? Ответ: а) Пересекаются; б) пересекаются; в) совпадают; г) параллельны.

Упражнение 11 Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M(1,3,-1) параллельно плоскости: а) 3x + y – z + 5 = 0; б) x – y + 5z – 4 = 0. Ответ: а) 3x+y-z-7=0; б) x-y+5z+7=0.

Упражнение 12 Перпендикулярны ли плоскости: а) 2x - 5y + z + 4 = 0 и 3x + 2y + 4z – 1 = 0; б) 7x – y + 9 =0 и y + 2z – 3 = 0? Ответ: а) Да; б) нет.

Упражнение 13 Найдите угол φ между плоскостями, заданными уравнениями: а) x + y + z + 1 = 0, x + y - z - 1 = 0; б) 2x + 3y + 6z – 5 = 0, 4x + 4y + 2z - 7 = 0.

Упражнение 14 Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки: а) A (1,0,0), B (0,1,0) и C (0,0,1); б) M(3,-1,2), N(4,1,-1) и K(2,0,1). Ответ: а) x+y+z–1=0; б) x+4y+3z-5=0.

Упражнение 15 Плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0. Напишите уравнение плоскости, симметричной данной относительно: а) координатных плоскостей; б) координатных прямых; в) начала координат. Ответ: а) ax+by-cz+d=0, ax-by+cz+d=0, -ax+by+cz+d=0; б) ax-by-cz+d=0, -ax+by-cz+d=0, -ax-by+cz+d=0; в) –ax-by-cz+d=0.

Упражнение 16 Вычислите расстояние от начала координат до плоскости: а) 2x – 2y + z – 6 = 0; б) 2x + 3y – 6z + 14 = 0. Ответ: а) 2; б) 2.

Упражнение 17 Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы x2 + y2 + z2 = 9 в точке с координатами: а) (0,3,0); б) (2,-2,1). Ответ: а) y=3; б) 2x-2y+z-9=0.