сечение поверхности

Лекция 6 Сечение поверхности плоскостью

Алгоритм решения задачи 1. Объекты ( и ) рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждым из объектов 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения a b Ю A,B 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям Г Ю b Г Ю а ; Г а b А B

Методические указания Плоскость, пересекающая поверхность, может занимать общее и частное положение относительно плоскостей проекций В общем случае вид сечения – кривая линия Сечение поверхности вращения плоскостью является фигурой симметричной. Ось симметрии фигуры сечения лежит в плоскости общей симметрии заданной поверхности и плоскости, при условии: - проходит через ось вращения поверхности; - перпендикулярности секущей плоскости Сечением многогранной поверхности является ломаная линия, вершины которой лежат на ребрах поверхности

При рассечении прямого кругового цилиндра плоскостями можно получить: 1- окружность, 2- эллипс, 3 – прямые линии Сечения прямого кругового цилиндра 2 1 3 2 1 3

Сечение сферы Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Окружность на плоскость проекций может проецироваться в натуральную величину (плоскость уровня), в виде отрезка, равного диаметру (проецирующая плоскость) и в виде эллипса (плоскость общего положения)

Q2 О1 О2 При построении линии сечения сферы плоскостью частного положения Q(Q2) прежде всего находим на П2 проекции экстремальных точек. Это точки пересечения следа Q2 с очерком сферы – 12 и 22. На П1 проекции 11 и 21 располагаем на следе плоскости Ф1 с учетом их видимости. 3 ПО. Ф1 12 22

С помощью плоскости Г(Г2) зафиксируем совпадающие проекции точек (32 и 42) на пересечении Г2 со следом заданной плоскости Q2. Проекции 31 и 41 располагаем на горизонтальном очерке сферы – экваторе. Это будут точки изменения видимости линии сечения на П1. Q2 О1 О2 Ф1 31 Г2 41 (11 ) 21 12 22

Экстремальные точки эллипса (высшую и низшую) находим, разделив пополам отрезок 12 22 перпендикуляром, опущенным из точки О2. В осно- вании перпендикуляра фиксируем две совпадающие проекции точек (52 и 62). На П1 проекции 51 и 61 располагаем на параллели b1 как невидимые. Q2 О1 О2 (11 ) 21 Ф1 12 31 Г2 41 b2 41 b1 22 (51 ) (61 )

Для уточнения формы кривой – эллипса находим промежуточные точки ( на чертеже не обозначены). Совпадающие точки фиксируем произвольно на следе Q2 и переносим их на П1с помощью параллели с. Q2 О2 (11 ) (61 ) 21 b2 (51 ) О1 с1 Ф1 12 Г2 (62) 52 b1 22 с2 31 41

Объединяем все построенные на П1 точки в линию (эллипс) с учетом ее видимости относительно сферы. Видимость линии будет меняться в точках 31 и 41, построенных заранее в соответствии с алгоритмом решения задачи. Q2 с1 О2 (11 ) (61 ) 21 b2 (51 ) с2 О1 Ф1 12 Г2 (62) 52 b1 22 31 41

На П1 дополняем построенную проекцию эллипса большой осью, проходящей через экстремальные точки 51 и 61. Показать натуральную линию сечения можно, применив преобразование чертежа – замену плоскости проекций Q2 с1 О2 (11 ) (61 ) 21 b2 (51 ) с2 О1 Ф1 Г2 b1 22 31 41 П1 П2 x (62) 52 12 О4

На дополнительной плоскости проекций П4 линия сечения – окружность проецируется в натуральную величину. Q2 с1 О2 (11 ) (61 ) 21 b2 (51 ) с2 О1 О4 Ф1 Г2 b1 22 31 41 П2 x1 П4 П1 П2 x (62) 52 Rc 12

Сечения прямого кругового конуса При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью в зависимости от ее расположения получаются: 1 – окружность; 2 – эллипс; 3 – парабола; 4 – гипербола; 5 – прямые линии 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5

В сечении конической поверхности вращения плоскостью могут быть получены различные геометрические образы В плоскости Г – точка, Δ – окружность, Θ – эллипс, Σ – гипербола, Ф – парабола, Ψ – одна прямая, Ω – две прямые.

Сечения конической поверхности вращения плоскостями S3 S2 Г2 Δ2 Ф2 2 Ψ2 Σ1 Ω1 S1 = m2 13 (43) 23 33 11 41 21 31 12 22 32 42

Анализ расположения следа секущей плоскости относительно очерка конуса показывает, что линией сечения будет кривая 2-го порядка гипербола. 2 ПО.

Точки пересечения следа плоскости с фронтальным очерком являются экстремальными точками линии сечения, определяемыми плоскостями Г и Ф. Строим их на П3. 2 ПО.

Точки линии сечения 4 и 5, лежащие на профильном очерке конуса, являются точками изменения видимости на П3 и промежуточными на П1. 2 ПО.

Промежуточные точки (без обозначения) линии сечения строим с помощью плоскостей Г’’ и Г’’’. На П1 объединяем все точки в проекцию линии сечения. 2 ПО.

При объединении точек параболы на П3 следует учитывать её видимость относительно конуса. Видимость линии изменяется в точках 4 и 5, построенных в соответствии с алгоритмом решения. 2 ПО.