Решение задач на смеси, растворы и сплавы

Система подготовки к ЕГЭ по математике Рулева Т.Г. МОУ СОШ №42 г. Петрозаводск Республика Карелия Решение задач на смеси, растворы и сплавы

Задача № 1

Задача № 2

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11? По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава. Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение *х + * у = * 1 Аналогично массу серебра и получаем уравнение * х + * у = * 1 Записываем одну из систем: х + у = 1 х + у = х + у = 1 х + у = Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875 Ответ: 125 г и 875 г.

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? 1. Изобразим сплавы в виде прямоугольников М С М С + = х(г) (200 –х) (г) 200 (г) 0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3 *200 х = 140 2. Обозначим М С М С + = х(г) у(г) 200(г) х + у = 200 0,15х + 0,65у =0,3 *200 х = 140 и у = 60 Ответ: 140г меди и 60г свинца 15% 65% 30% 15% 65% 30%

Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? Решение 1: аналитическая модель. Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15 x = 150 Решение 2: с использованием графика. Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x) x =150 Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора

Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля? С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников) 10*х = 25*(140 – х) х = 100 140 – 100 = 40 Ответ: 100 т и 40 т

Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты. Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты. При смешивании растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты. Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Аналитическая модель: Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08 Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди. Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение: 0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08. Решив уравнение, получим х = 12. Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен? Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4. 10 6 1 3 7

Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт? Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен 6 5 12 6 1 6 5 8 1 2 6 2/8 1 1/10

Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава. Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему: Получаем: (864 – х) : (х – 600) = 75 : 150 1728 – 2х = х – 600 х = 776. Ответ: сплав 776-й пробы.

«Правило креста» При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей: Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора H3PO4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков? Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления 0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х = , х = 1,2 Ответ: 1,2 кг 1,8+0,2х 2 3 mм(кг) mc(кг) 1,6-0,2х

Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально? Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем: = , х = 22,5 Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни. р 25 75 100 75 - р

В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Обозначим искомую величину за Х. По правилу квадрата получим: Составим пропорцию: = , х = 4,8 Ответ: 4,8 % - жирность молока. 3 6 - х х 6 х - 3

ЕГЭ - 2009 задачи на смеси и сплавы 1.Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди. 2. Для приготовления маринада необходим 2% раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350 г воды

«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи». Антуан Де Сент-Экзюпери «При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается». Саллюстий Гай Крисп