Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла» Учитель математики Гурова Ольга Валериевна ГБОУ СОШ № 1652

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Устная работа 1. Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

2. Вычислите интегралы: 1). 2). 3). 4). 10,5 1 64 1

Немного истории «Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690г.) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer от латинского primitivus – начальный, ввел Жозеф Луи Лагранж (1797г.) «Примитивная функция»,

Интеграл в древности Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Евдокс Книдский Архимед Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.

Исаак Ньютон (1643-1727) Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в «Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в 1736). Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл) Скорость изменения флюент – флюксии (производная)

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) впервые использован Лейбницем в конце XVII века Символ образовался из буквы S — сокращения слова  summa (сумма)

Определенный интеграл И. Ньютон Г. Лейбниц где Формула Ньютона - Лейбница

y = f (x), y = g (x), x = a, x = b, f(x) > g(x) A B C D SABCD = SaDCb – SaABb =

Пример. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. x y 0 1 2 5 5 y = x y = 5 - x A B C D

Задание1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3 – x2, y = 1+ | x | y = 1 + |x| y х 0 1 1 -1 3 y = 3 – х2 S1 S2 S = S1 + S2

Задание 2. С помощью определенного интеграла записывают формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунках 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Подберите из данных формул для вычисления площади фигуры ту, которая подходит к одному из шести чертежей. S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = 5 1 2 3 4 6

Задание 3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 0,5x2 + 2, касательной к этому графику в точке с абсциссой х = -2 и прямой х = 0. Решение: 1. Составим уравнение касательной. 2. Построим графики функций. 3. Найдем площадь фигуры. х y 0 -1 1 -2 1 4 у = -2х у = 0,5х2 + 2 А B C 2

Итоги урока

СПАСИБО ЗА УРОК! Домашнее задание: 1. п.4 стр.228 - 230; 2. № 1025(в, г), № 1037(в, г), № 1038(в, г)