Одно из свойств арифметических прогрессий

МАОУ «СОШ № 1» с углублённым изучением отдельных предметов имени И. А. Куратова г.Сыктывкара. Исполнитель: Лукина Серафима Руководитель: Карпова Людмила Александровна 2011 год.

Эпиграф Через математические знания, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий. Маркушевич А. И.

Доказать одно из свойств арифметических прогрессий и воспользоваться им на практике. Цель исследовательской работы:

Арифметическая прогрессия - это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. аn = a1 + d(n – 1) d = an + 1 – аn а1 + аn Sn = x n 2 2а1 + d(n – 1) Sn = x n 2

7.32. 1) Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 8, 13, … и 4, 11, 18, … . 2)Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 7, 11, … и 1, 10, 19, … .

Первый совпадающий член двух данных прогрессий можно найти, непосредственно выписав несколько последовательных членов каждой из них. d = НОК(d1; d2) d1 – разность первой прогрессии d2 – разность второй прогрессии « Действительно ли это так и можно ли это доказать?»

1) НОК(Наименьшим общим кратным) натуральных чисел а и b называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и b. Пример: НОК(6; 8) = 24 2)Если НОД(а; b) = 1, т. е. числа а и b взаимно простые, то НОК(а; b) = a x b Пример: а = 3; b = 4 НОД(3; 4) = 1 НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12

Если а : b и а : c a : b x c НОК(Ra; Rb) = RНОК(а; b), где НОД(а; b) = 1

Дано: (аn) и (bn) – арифметические прогрессии, соответственно с разностями d1 и d2, НОД(d1;d2) = 1; (сn) содержит совпадающие члены данных последовательностей, d – разность прогрессии Доказать: d = НОК(d1; d2) = d1 x d2 Доказательство: 1) см (сn) и (аn) с1 = аR = а1 + d1(R – 1) c2 = al = a1 + d1(l – 1)

См d = c2 – c1 = al – aR = a1 – a1 + d1(l – R) = = d1(l – R) d : d1 2)см (сn) и (bn) с1 = bm = b1 + d2(m – 1) c2 = bp = b1 + d2(p – 1) см d = c2 – c1 = d2(m – p) d : d2 Вывод: 1)d : d1 d : d1 x d2 d = НОК(d1; d2) d : d2 НОД(d1;d2) = 1

См примеры: 1) 12 : 4 12 = НОК(4; 3);см НОД(4;3) = 1 12 : 3 Получено 12 = НОК(4; 3) = 4 x 3 2) см 24 : 6 24 = НОК(6; 8); см НОД(6; 8)=1 24 : 8 24 = НОК(6;8) = 6 x 8 Значит: если НОД(d1; d2) = 1, то d = НОК(d1;d2) = d1 x d2

Примечание: Свойство НОК: Если а и b – не взаимно простые числа, НОК(Ra; Rb) = RНОК(а; b), НОД(а; b) = 1 См пример: НОК(6;8) = НОК(2 x 3; 2 x 4) = 2НОК(3; 4) = = 2 x 12 = 24

7.32. 1)Найдите сумму первых 20 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 8, 13, … 4, 11, 18, … . Решение: 1) S20 - ? 2) (аn): 3, 8, 13, 18, … (bn): 4, 11, 18, … (сn): 18, …

3) d1 = a2 – a1 = 8 – 3 = 5 d2 = b2 – b1 = 11 – 4 = 7 4) см НОД(5; 7) = 1 d = НОК(d1; d2) = НОК(5; 7) = 7 x 5 = 35 2a1 + d(n -1) 5) Sn = x n 2

2 x 18 + 35(20 – 1) S20 = x 20 = 2 36 + 35 x 19 701 = x 20 = x 20 = 7010 2 2 Ответ: S20 = 7010

2) Найдите сумму первых 10 совпадающих членов двух арифметических прогрессий: 3, 7, 11, … и 1, 10, 19, … Решение: 1) S10 - ? 2) (an): 3, 7, 11, 15, 19, … (bn): 1, 10, 19, … (сn): 19, …

3) d1 = a2 – a1 = 7 – 3 = 4 d2 = b2 – b1 = 10 – 1 = 9 4) см НОД(4; 9) = 1 d = НОК(d1; d2) = 4 x 9 = 36 2a1 + d(n – 1) 5) Sn = x n 2

2 x 19 + 36(10 – 1) S10 = x 10 = 2 38 + 36 x 9 362 = x 10 = x 10 = 1810 2 2 Ответ: S10 = 1810

12.98. В арифметической прогрессии 3; 6; 9; … содержится 463 члена, в арифметической прогрессии 2; 6; 10; … содержится 351 член. Сколько одинаковых членов содержится в этих прогрессиях. Решение: 1) n - ? (аn): 3, 6, 9, … (463 члена) (bn): 2, 6, 10, … (351 член) (сn): 6, …

2) d1 = a2 – a1 = 6 – 3 = 3 d2 = b2 – b1 = 6 – 2 = 4 3) cм НОД(3; 4) = 1 d = НОК(d1; d2) = НОК(3; 4) = 3 x 4 = 12 4) cм аn = а1 + d(n – 1) а463 = 3 + 3(463 – 1) = 1389 b351 = 2 + 4(351 – 1) = 1402

5) сn = c1 + d(n – 1); n - ? 6 + 12(n – 1) 1389 6 + 12(n – 1) 1402 6 + 12n – 12 1389 6 + 12n – 12 1402 12n 1395 12n 1408 n 116, 25 n 117, 33 n = 116 Ответ: 116 одинаковых членов содержится в этих прогрессиях.

В заключении строки из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…Не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить».Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный размер с ударениями на чётных слогах стиха (н: Мой дядя самых честных правил), т. е. ударными являются второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8… .

Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах (н: Буря мглою небо кроет). Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1; 3; 5; 7, … .

Практическая значимость 1)Моя работа может использоваться на уроках алгебры при изучении темы «Арифметические прогрессии». 2)Данное исследование поможет учащимся при написании ГИА и ЕГЭ.

Сборник заданий для подготовки к ГИА в 9 классе; Сборник задач по алгебре(8-9 класс) М.Л. Галицкого, А. М. Гольдмана, Л. И. Звавича; Учебник для 9 класса с углублённым изучением математики Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова; Пособие для учителя «Делимость целых чисел» В. Д. Яковлева; Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики(для 9 класса) под редакцией Н. Я. Виленкина. Источники: