Решение задач типа В10

Решение задач типа В10 МАОУ СОШ №3 г. Железнодорожный Автор: Гренкова Анна Александровна

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой Р (A) = m / n, где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Определение: Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Определения: События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого. Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Пример: Вероятность их появления при испытании- из урны наудачу вынут один шар, одинакова и равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т.е. происходит событие А, его вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т.е. происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2. Итак, появление события А не изменило появление события В. Теперь изменим условия: вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В. Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае называется условной вероятностью и обозначается РА(В), т.е. вероятность события В при условии, что А произошло.

Вероятность суммы двух событий. Теорема1: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Теорема2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Вероятность произведения двух событий. Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В). Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Решение. Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36. Варианты (исходы эксперимента) будут такие: 1; 1  1; 2  1; 3  1; 4  1; 5  1; 6 2; 1  2; 2  2; 3  2; 4  2; 5  2; 6 и т.д. .............................. 6; 1  6; 2  6; 3  6; 4  6; 5  6; 6 Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8. 2; 6   3; 5;  4; 4   5; 3   6; 2.   Всего 5 вариантов. Найдем вероятность:   5/36 = 0,138 ≈ 0,14. Ответ: 0,14. 283457

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых. Решение. На первом кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике и 6 вариантов выпадения очков на третьем кубике Т.е. всего различных вариантов 6х6×6 = 216. Варианты (исходы эксперимента) будут такие: 1;1;1  1;1;2  1;1;3  1;1;4  1;1;5  1;1;6 и т.д. .............................. 6;6;1  6;6;2  6;6;3  6;6;4  6;6;5  6;6;6 Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков трех кубиков равна 4. 2;1;1   1;2;1  1;1;2     Всего 3 варианта. Найдем вероятность:   3/216 = 0,01388… ≈ 0,01. Ответ: 0,01. 283455

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. Всего 4 варианта:  о; о    о; р    р; р    р; о.     Благоприятных 2:   о; р  и р; о.   Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5. 283469 Ответ: 0,5.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Решение. Всего 8 вариантов:  р; р; р    р; р; о р; о; р    о; р; р     р; о; о   о; р; о о; о; р  о; о; о Благоприятных 1:   р; р; р Вероятность равна 1/8 = 0,125. 283473 Ответ: 0,125.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу. Другой способ: Условие можно толковать так: какова вероятность, что все 3 раза выпадет решка. Вероятность того, что решка выпадет 1 раз равна 1/2, 2 раза равна 1/2⋅1/2=1/4, 3 раза равна 1/2⋅1/2⋅1/2=1/8, (1/2)3=1/8=0,125. 283473 Ответ: 0,125.

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение. Всего участвует 20 спортсменок, из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая. Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25. Ответ: 0,25. 282855

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает. Решение: 2000 – 20 = 1980 – насосов не подтекают. Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна 1980/2000 = 0,99. Ответ: 0,99. 283585

Решение: 120 + 9 = 129 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 120/129 = 0,93023…≈ 0,93. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится 9 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,93. 283633

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 − из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Ответ: 0,36. 282858 Решение: Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Ответ: 0,16. 285922 Решение: В последний день конференции запланировано (75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов. Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.

Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений − по одному от каждой страны. В первый день 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,275. 286039 Решение: В третий день конкурса запланировано (40 – 18) : 2 = 11 выступлений. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 11/40 = 0,275.

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3. 285924 Решение: Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых. Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Ответ: 0,36. 285925 Решение: Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России. Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна (10-1)/(26-1)= 9/25 = 36/100 = 0,36.

В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по кислотам. Ответ: 0,8. 286317 Решение: Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по ботанике, равна (35-7)/35 = 28/35 =4/5 = 0,8.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Ответ: 0,36. 285928 Решение: Всего участвует 25 спортсменов. Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Используемые материалы ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с. http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года