Логика

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока (Китай, Индия), но в основе современной логики лежат учения, созданные в 4 веке до нашей эры древнегреческими мыслителями. Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания. Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления

Логика - наука о формах и способах мышления Законы логики отражают в сознании человека свойства связи отношения объектов окружающего мира

Понятие - это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. Между множествами (объемами понятий) могут быть различные виды отношений: · равнозначность, когда объемы понятий полностью совпадают; · пересечение, когда объемы понятий частично совпадают; · подчинения, когда объем одного понятия полностью входит в объем другого и т.д Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и соотношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна.

Если имеются какие-либо понятия A, B, C и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объемами (множествами) в виде пересекающихся кругов.

ОТОБРАЗИТЬ С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММЫ ЭЙЛЕРА-ВЕННА СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ОБЪЕМАМИ ПОНЯТИЙ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧЕТНЫЕ ЧИСЛА. Объем понятия натуральные числа включает в себя множество целых положительных чисел А Объем понятия четные числа включает в себя множество отрицательных и положительных четных чисел В. Эти множества пересекаются, т.к. включают в себя множество положительных четных чисел С.

- это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание

Высказывания обозначаются именами логических переменных, которые могут принимать лишь два значения: 1 - ИСТИНА 0 - ЛОЖЬ

Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным суждение будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности.

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания: "Сумма углов треугольника равна 180 градусов" устанавливается геометрией, причем — в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского — ложным

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Умозаключения бывают: 1. дедуктивные, 2. индуктивные 3. по аналогии. В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является металлом» путем умозаключения можно сделать вывод, что: «Ртуть электропроводна».

В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например, установив, что отдельные металлы - железо, медь, цинк, алюминий и т.д. - обладают свойством электропроводности, можно сделать вывод, что все металлы электропроводны.

Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому, когда на Солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.

1. Отобразить с помощью диаграммы Эйлера-Венна соотношения между следующими объемами понятий: а) целые и натуральные числа; б) четные и нечетные числа

2. Приведите примеры понятий, суждений, умозаключений и доказательств из различных наук: математики; информатики; физики и химии.

Основные понятия математической логики Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности и ложности) и логических операций над ними Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно Для обозначения истины (истинного высказывания) используется символ 1 (True), а для обозначения лжи (ложного высказывания) используется символ 0 (False). True = 1 False = 0 True > False

Примеры логических выражений Предложение Характеристика с точки зрения алгебры логики За зимой наступит весна Истинное логическое высказывание В городе Иваново проживают только граждане России Ложное логическое высказывание После дождя всегда тепло Ложное логическое высказывание После вторника будет выходной Не является логическим высказыванием, т.к. не известно, о каком человеке, каком месяце и дне идет речь (если у человека текущий график работы, возможно, что у него в среду будет выходной, в противном случае среда – рабочий день; если в среду будет праздничный день, например, 8 марта, то этот день также будет выходным)

Что такое логические выражения? Логическое выражение – это некоторое высказывание, по поводу которого можно заключить истинно оно или ложно. Логическое выражение , подобно математическому выражению выполняется (вычисляется), но в результате получается не число, а логическое значение (логическая величина)

Виды логических выражений Простые – выражения, состоящие из имени поля логического типа или одного отношения Сложные – выражения, содержащие логические операции

Примеры простых высказываний Шесть первых выражений называются отношениями. Высказывание Значение Идет дождь Ложь Давление больше 740 мм. рт. ст. Истина Влажность не 100% Ложь Книга стоит ниже пятой полки Истина Автор книги Толстой Л.Н. Ложь Фамилия ученика – Русанов Истина Занимается цветоводством Ложь Занимается танцами Истина

Осадки = «дождь» 5. Автор = «Толстой Л.Н.» Давление > 740 6. Фамилия = «Русанов» Влажность 100 7. Цветоводство Полка < 5 8. Танцы Знаки отношений : = равно не равно > больше < меньше >= больше или равно

ОТНОШЕНИЯ Отношения – это выражения в которых имена полей базы данных связываются в соответствующие знаки отношений

Особенности выполнения отношений для символьных величин. Отношение «равно» истинно для двух символьных величин, если их длина одинакова и все соответствующие символы совпадают Символьные величины можно сопоставлять и в отношениях , = по принципу: сравниваются между собой не сами символы, а их внутренние коды

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить более сложные высказывания. Такие слова и словосочетания называют логическими связками. Сложные логические выражения Сложные логические выражения состоят из простых, с помощью логических операций (связок)

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение № Логическая связка Название Обозна-чение Высказы-вание Математическая запись 1 и конъюнкция логическое умножение , *, And A и В A B, A B A * B, A And B 2 или дизъюнкция логическое сложение +, Or A или В A B A + B, A Or B 3 не инверсия, логическое отрицание ¬, , Not не А ¬А, , Not A 4 Если…то импликация, логическое следование →, Если A, то В A → B A B 5 тогда и только тогда эквивалентность, равносильность, логическое тождество , , А тогда и только тогда, когда В А В, А В А В, А В

Логическое умножение Обозначение : в русском языке – и в английском языке – and в математической логике - /\ В результате логического умножения получается истина, если оба операнда (логические величины) истинны. X 1 1 0 0 Y 1 0 1 0 x/\y 1 0 0 0

Логическое сложение Обозначение : в русском языке – или в английском языке – or в математической логике - \/ В результате логического сложение получается истина, если значение хотя бы одного операнда истинно X 1 1 0 0 Y 1 0 1 0 x/\y 1 1 1 0

Логическое отрицание Обозначение : в русском языке – не в английском языке – not в математической логике - x Отрицание изменяет значение логического выражения на противоположное. Отрицание – одноместная операция, она применяется к одному логическому операнду X 1 1 0 0 not X 0 0 1 1

Порядок действий Not (отрицание) And (логическое умножение) Or (логическое сложение) >,=,<

ПРИМЕР: A and B or not A and B or not B = True № a b a /\ b not a /\ b Рез-т 1 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 3 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 1

Благодаря этой презентации вы получили базовые сведения о таком предмете, как алгебра логики. Сначала