Высказывания и высказывательные формы

Высказывания и высказывательные формы

Определение 1. Высказыванием называют любое повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.

Высказывание принято обозначать прописными буквами латинского алфавита:
А, В, С и т.д.

Если высказывание А истинно, то записывают А – «И»,
если высказывание А ложно, то записывают А – «Л».

Если заданы высказывания А и В, то из них можно составить новое высказывание, используя логические связки «и», «или», «если..., то», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не». Такие высказывания называют составными, а входящие в них высказывания А и В – элементарными высказываниями.

Составные высказывания

Два составных высказывания А и В называются равносильными, если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний.
В этом случае пишут А = В.

Есть свойства, связывающие эти две операции:

(АВ)С = (АС)(ВС) – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

(АВ) С = (А С)  (ВС) – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Определение 2. Высказывательной формой (предикатом) заданным на множестве Х называется предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него значений переменной(ых) из множества Х

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты (высказывательные формы), которые обозначаются, соответственно, так:
А (х), В (х, у) и т. д.
Например, х > 3 – одноместный предикат, а
х + у = 10 – двухместный предикат.

При задании предиката обычно указывают его область определения X – множество, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.
Множество тех значений переменной из области ее определения, при подстановке которых предикат обращается в истинное высказывание, называется множеством истинности предиката.
Обозначение – Т, Т  Х.

Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X, называется предикат А(х)  В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых истинны оба предиката.
Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности образующих ее предикатов.
Т а(х)В(х) = Т а(х)  Т В(х).

Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве называется предикат А(х)  В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х  X, при которых истинен хотя бы один из предикатов.
Та(х)\/В(х) = Т А(Х)  Т В(х)

Отрицанием предиката А(х), заданного на множестве X, называется предикат , истинный при тех и только тех значениях х  X, при которых предикат А(х) ложен.

Среди следующих предложений выделить высказывания, предикаты: установить, истинны или ложны высказывания, а для предикатов найти множества истинности:

а) Енисей – река сибирская;
б) любой человек имеет сестру;
в) 2х + 5х – 4;
г) х2 – 4 = 0;
д) хотя бы одно из чисел 1, 2, 3, 4 является решением уравнений х – 4 = 0;
е) 2х – 5 < 3;
ж) сколько вам лет?

Среди следующих предложений выделить высказывания, предикаты, установить, истинны или ложны высказывания, а для предикатов найти множества истинности:
а) 3 – простое число;
б) 2 + 9 = 15;
в) х3 – 5х + 3;
г) 3х + 5 = 17;
д) который час?
е) разность чисел х и 3 равна 9;
ж) х = 5 является решением неравенства 3х – 2 > 10;
з) х2 + 5х + 6 > 0;
и) х + у = у + х;
к) (7 + 2) (7 – 2) = 53.