Исследование функций и построение графиков

Исследование функций и построение графиков Кириченко Р.М. СО-11 Образец заголовка Эмблема организации Этот шаблон можно использовать как начальный файл для представления учебных материалов группе слушателей. Разделы Для добавления разделов щелкните слайд правой кнопкой мыши. Разделы позволяют упорядочить слайды и организовать совместную работу нескольких авторов. Заметки Используйте раздел заметок для размещения заметок докладчика или дополнительных сведений для аудитории. Во время воспроизведения презентации эти заметки отображаются в представлении презентации. Обращайте внимание на размер шрифта (важно обеспечить различимость при ослабленном зрении, видеосъемке и чтении с экрана) Сочетаемые цвета Обратите особое внимание на графики, диаграммы и надписи. Учтите, что печать будет выполняться в черно-белом режиме или в оттенках серого. Выполните пробную печать, чтобы убедиться в сохранении разницы между цветами при печати в черно-белом режиме или в оттенках серого. Диаграммы, таблицы и графики Не усложняйте восприятие: по возможности используйте согласованные, простые стили и цвета. Снабдите все диаграммы и таблицы подписями.

Схема исследования функции с целью построения ее графика 1) Область определения, непрерывность, четность/нечётность. 2) Асимптоты графика функции. 3) Возрастание, убывание и экстремумы функции. 4) Выпуклость, вогнутость и перегибы графика. Образец заголовка Дайте краткий обзор презентации. Опишите главную суть презентации и обоснуйте ее важность. Представьте каждую из основных тем. Чтобы предоставить слушателям ориентир, можно можете повторять этот обзорный слайд в ходе презентации, выделяя тему, которая будет обсуждаться далее.

Область определения функции и множество значений функции Область определения функции(D)- это множество тех значений которые может принимать аргумент Множество значений функции(Е)- это множество тех значений, которые может иметь сама функция при всех значениях аргумента с области определения (это все значения а, при которых уравнение f(x) = a имеет решения) ПРИМЕР. f(x)=x-1 Область определения: x - 1 ≥ 0, то есть x ∈ [1; +∞) (Df = [1; + ∞)) Это другой параметр для обзорных слайдов, использующих переходы.

Непрерывность функции Функция f(x) называется непрерывной в точке а, если при x → a f(x) → f(a), то есть Если функция ƒ(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I. (график функции, непрерывной на промежутке — непрерывная линия на этом промежутке.) Примеры функций, которые имеют точки разрыва y = [x] — целая часть x Точки разрыва — 0 — точка разрыва. 0 — точка разрыва. все целочисленные точки.

Четные и нечётные функции Функция f называется парной, если её область определения симметрична относительно началу координат и для любого x из её области определения f(-x) = f (x) Свойства График парной функции симметричен относительно оси 0y Функция f называется не парной, если её область определения симметрична относительно началу координат и для любого x из её области определения f(-x) = - f (x) Свойства График парной функции симметричен относительно началу координат

Примеры четной функции

Примеры нечетной функции

Асимптоты Асимптота кривой- это прямая к которой неограниченно приближается кривая при удалении её в бесконечность Какие способности приобретут слушатели по завершении обучения? Коротко опишите каждую цель и полезность данной презентации для слушателей.

функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке  [a, b],если для любой пары точек х и х', а ≤ х 

Теорема. Если функция f имеет неотрицательную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f возрастает на интервале (а;b). Теорема. Если функция имеет неположительную производную в каждой точке интервала (а;b), то функция f убывает на интервале (а;b). Образец заголовка Добавьте слайды в раздел по каждой теме, включая слайды с таблицами, диаграммами и изображениями. Образцы макетов таблицы, диаграммы, изображения и видео см. в следующем разделе.

Функция возрастает < 900 tg > 0 f `(x) > 0 Функция убывает > 900 tg < 0 f `(x) < 0 х у 0 х у 0 Образец заголовка

Исследование экстремумов функции Необходимое условие экстремума. (теорема Ферма) Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f `(x), то она равна нулю: f `(x) = 0. Образец заголовка

Достаточные условия существования экстремума в точке Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f `(x) > 0 на интервале (а; х0), и f `(x) < 0 на интервале (х0; b), то точка х0 является точкой максимума функции f. X Y -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 + + + + + + - - - - - -

Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции Т е о р е м а. Пусть функция f(x), х (а;b), имеет первую и вторую производные. Тогда, если f ``(x) < 0 для всех х (а;b), то на интервале (а;b) график функции f(x) выпуклый вверх, если же f ``(x) > 0 для всех х (а;b), то график функции f(x) выпуклый вниз на (а;b). Образец заголовка

1 2 График выпуклый - убывает tg - убывает f `(x) – убывает f ``(x) < 0 График вогнутый - возрастает tg - возрастает f `(x) – возрастает f ``(x) > 0 1 2 A1 A2 A1 A2 х у 0 х у 0

Точки перегиба Найти критические точки функции по второй производной. Исследовать знак второй производной в некоторой окрестности критический точки. Если f ``(х) меняет свой знак при переходе аргумента через критическую точку х0, то (х0; f(х0)) - точка перегиба графика данной функции