Теорема Виета (8 класс)

Алгебра 8 класс Теорема Виета

Основная цель – изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при решении квадратных уравнений «Вся математика – это, собственно, одно большое уравнение для других наук» Новалис Девиз урока:

Устная работа x² + 4x - 6 = 0 2x² + 6x = 6 7x² - 14x = 0 x² + 5x - 1= 0 3x² - 5x + 19 = 0 x² - 13x = 0

Исследуем связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения 5 -5 -7 7 -8 -1 6 6 6 6 6 -6 -2 -3 -5 6 2 3 5 6 1 6 7 6 -1 -6 -7 6 4- 4+ 8 6 -2 3 1 -6 Уравнение p q x₁ x₂ x₁ + x₂ x₁ ∙ x₂ 1 x² + 5x + 6 = 0 2 x² - 5x + 6 = 0 3 x² - 7x + 6 = 0 4 x² + 7x + 6 = 0 5 x² - 8x + 6 = 0 6 x² - x - 6 = 0

ФРАНСУА ВИЕТ (Вьета) 1540-1603 Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 г. Теперь она носит имя Виета

Дано: х₁ и х₂ - корни уравнения Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Доказать:

План доказательства: Записать формулы для нахождения x₁и x₂; Найти сумму корней: x₁+ x₂; Найти произведение корней: x₁· x₂.

Доказательство: х ² + pх + q = 0 1. х₁ = , х₂ = = = = -p 3. x₁ ∙ x₂ = ∙ = = = , D = p² -4q. = = = q 2. x₁+x₂= + =

1.Определите, верно ли сформулирована теорема: Сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену 2. Для всех ли приведенных уравнений x₁+ x₂= -p x₁· x₂= q 3. Сформулируйте теорему со словами «Если…, то…»

Что позволяет находить доказанная теорема? Что должно быть известно до применения теоремы?

Можно ли найти сумму и произведение корней следующих уравнений х² + 3х + 6 = 0 х² + 5 = 0 2х² – 7х + 5 = 0

x² + px + q = 0 x² - (х₁ + х₂)х + х₁ ∙ х₂ = 0 Задание 1. Выберите уравнение сумма корней которого равна -6, а произведение равно -11 х² - 6х + 11 = 0 х² + 6х - 11 = 0 х² + 6х + 11 = 0 х² - 11х - 6 = 0 х² + 11х - 6 = 0

Задание 2. Если х₁ = -5 и х₂ = -1 - корни уравнения х² + px +q = 0, то 1) p = -6, q = -5 2) p = 5, q = 6 3) p = 6, q = 5 4) p = -5, q = -6 5) p = 5, q = -6 6) p = -6, q = -5

Задание 3. Найдите сумму и произведение корней уравнения х² - 3х - 5 = 0. Выберите правильный ответ. х₁ + х ₂= -3, х₁ ∙ х₂ = -5 х₁ + х ₂= -5, х₁ ∙ х₂ = -3 х₁ + х ₂= 3, х₁ ∙ х₂ = -5 х₁ + х ₂= 5, х₁ ∙ х₂ = -3

Найти сумму и произведение корней уравнения Решение: б) y² – 19 =0, D > 0 p = 0, q = - 19 х₁ + х ₂= 0, х₁ ∙ х₂ = -19 д) 2x² – 9x – 10 = 0 х² – 4,5х – 2 = 0, D > 0 p = - 4,5, q = - 2 х₁ + х ₂= 4,5, х₁ ∙ х₂ = -2 №573 а) в) у доски г) д) самостоятельно с последующей проверкой :2

Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней х² – 2х – 8 = 0 Для каждого уравнения попытайтесь подобрать два числа х₁ и х₂ так, чтобы выполнялись получившиеся равенства. 2. х² + 7х + 12 = 0 3. y² – 8y – 9 = 0 D > 0, p = -2, q = -8 x₁ + x₂ = 2 x₁ ∙ x₂ = -8 D > 0, p = 7, q = 12 x₁ + x₂ = -7 x₁ ∙ x₂ = 12 D > 0, p = -8, q = -9 y₁ + y₂ = 8 y₁ ∙ y₂ = -9 x₁ = -2 x₂ = 4 2 ∙ (-4) -2 ∙ 4 1 ∙ (-8) -1 ∙ 8 Проверьте, будут ли полученные числа корнями данного уравнения x₁ = -3 x₂ = -4 y₁ = -1 y₂ = 9

Прямая теорема: Если х₁ и х₂ - корни уравнения х² + px + q = 0. Тогда числа х₁, х₂ и p, q связаны равенствами Обратная теорема: Тогда х₁ и х₂ - корни уравнения х² + px + q = 0. Числа х₁ и х₂ являются корнями приведенного квадратного уравнения х² + px +q = 0 тогда и только тогда, когда x₁ +х₂ = - p, x₁ ∙ x₂ = q

Применение теоремы Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения Определяем знаки корней уравнения не решая его Устно находим корни приведенного квадратного уравнения Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Теорема Виета Числа х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения х² + вх + с =0 тогда и только тогда, когда х₁ + х₂ = х₁ ∙ х₂ = По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни — и дробь уж готова? В числителе с, в знаменателе а А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь, что за беда! В числителе в, в знаменателе а.

Домашнее задание: п. 23 (знать теорему Виета), дифференцированное задание (листок с домашней работой)