Сфера, вписанная в многогранник

Сфера, вписанная в многогранник

Сфера, вписанная в многогранник Определение Многогранник называется описанным около сферы(а сфера вписанной в многогранник), если все грани многогранника касаются этой сферы. Следствие Центр вписанной сферы есть точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Подготовительные задачи 1. Где расположено множество точек пространства , равноудаленных от двух плоскостей? Теорема 1 Множество точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей ,есть плоскость, параллельная данным плоскостям и проходящая через середину общего перпендикуляра этих плоскостей. Дано: α || β; γ|| α; γ|| β; AC=CD; AB |α; AB| β

Теорема 2 Множество точек, равноудаленных от граней двугранного угла, есть есть биссектриса (биссекторная плоскость) этого двугранного угла.

Теорема 3 Множество точек, равноудаленных от граней трехгранного угла, есть биссектриса этого трехгранного угла. Биссектрисой трехгранного угла называется луч с началом в вершине данного трехгранного угла, который образует равные углы с гранями этого трехгранного угла.

Сфера, вписанная в призму Теорема 4 В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, когда в перпендикулярное сечение этой призмы можно вписать окружность, и высота призмы равна диаметру этой окружности (диаметру вписанной сферы).

2. Расстояние между боковыми ребрами треугольной призмы 13,14,15.В призму вписан шар. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол α . Найти объем призмы и объем шара. Решение. (А2В2С2)-перпендикулярное сечение. Vш.= ⁴⁄₃ПR ш.3 S=⅟₂Prокр R ш.=rвпис.окр.= S А2В2С2 /p p =21; S=√p(p-a) (p-b) (p-c); S А2В2С2=84; R ш.=84/21=4; Vш.= ⁴⁄₃ПR ш.3; Vш.= 256П/3; 2) V пр.=S перп.сеч.*АА1 ; АА1 =А1О/sin α=8/ sin α; V пр.=84*8/ sin α =672/ sin α. Ответ: 256П/3; 672/ sin α.

Сфера, вписанная в пирамиду Боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию. Теорема 5 Если боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию(двугранные углы при основании пирамиды равны), то в пирамиду можно вписать сферу, центр которой находится в точке пересечения высоты пирамиды и биссектрисы двугранного угла при основании пирамиды.

3.Основание пирамиды- треугольник со сторонами 9,10 и 17.Все боковые грани наклонены под углом 45о к основанию пирамиды .Найти радиус вписанного шара. Решение. 1)OK= rвпис.окр. =S/p; S=p* rвпис.окр . ;p=18; S=√p(p-a) (p-b) (p-c); S ∆АВС=36;OK=2. 2) ∆POK: KOш.-биссектриса, т.о. ООш./Ош.p=OK/PK=cos 45о ; ООш./Ош.p=1/ √2;

Теорема 6 В любой тетраэд можно вписать сферу. Теорема 7 Если в многогранник, объем которого равен V,а площадь поверхности равна S,вписан шар радиуса R,то имеет место соотношение: V=⅓S*R 3.Основание пирамиды- треугольник АВС,В котором АВ|ВС,АВ=4,ВС=3.Боковое ребро РА перпендикулярно плоскости основания пирамиды и равно 3.Найдите объем шара, вписанного в пирамиду. Решение. 1)Vпир.=⅓S ∆ ABC*AP; Vпир.=⅓*⅟₂*3*4*3=6. 2)PB|BC(по теореме о трех перпендикулярах);АС=PB=5. 3) S ∆PАВ=S ∆АВС= ⅟₂*4*3=6. S ∆PВC= S ∆PАC=⅟₂*3*5=7,5. Sполн.=2*6+2*7,5=12+15=27. 4)Rш.=3 Vпир./S; Rш.=3*6/27=⅔; Vш.=⁴⁄₃ПR 3=32П/81. Ответ: 32П/81.

4. Шар вписан в прямую призму, основание которой- равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 8.Найдите объем шара и объем призмы. Решение. 1)Rш.= rвпис.окр . ;Hпр.=D впис.окр.=CK. 2)DC+AB=AD+CB; 2BC=2+8; BC=5. 3)BC=⅟₂(AB-DC); BK= ⅟₂(8-2)=3; 4) ∆BCK:CK=4; Rш.=2. 5)Vпр.=Sосн.*Нпр.; Vпр.=80; Vш.= ⁴⁄₃ПR 3 ; Vш.= ⁴⁄₃П2 3 =32П/3. Ответ: 32П/3.

Спасибо за внимание