Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ Гуряшина Ксения 7 «в» класс МОУ «Лицей №73» Г.Барнаул

В 7 классе на уроках геометрии мы познакомились с задачами на построение. В учебниках предложен один способ построения для каждой классической задачи. Я попыталась оформить все задачи в электронном виде и для одной из задач провести исследование.

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Основные этапы решения задачи на построение 1 АНАЛИЗ 2. ПОСТРОЕНИЕ 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 4. ИССЛЕДОВАНИЕ В том случае, когда при построении получаются равные фигуры, будем считать, что задача имеет единственное решение.

Условные обозначения - знак угла окр(О;г) - окружность с центром в точке О и радиусом г - знак пересечения - в скобках указано множество точек пересечения - знак принадлежности - знак перпендикулярности : - заменяет слова ”такой что”

Задача 1 На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному Дано: Луч h, О- начало PQ-отрезок Построить: A h OA=PQ h A Построение: 1. окр(О;PQ) 2. h окр(O;PQ)= A 3. OA-искомый P Q OA: O

Задача 2 Построить середину данного отрезка Дано: АВ-отрезок А Построить: О АВ ОА=ОВ О: Построение: 1. окр(А ;АВ) 2. окр(В;ВА) 3. окр(А;АВ) окр(В;ВА)= P;Q 4. PQ-прямая P Q 5. PQ AB= O О 6. O- искомая точка B O

Задача 2 Построить середину данного отрезка Дано: АВ-отрезок А Построить: О АВ ОА=ОВ О: P Q О B О Доказательство: APQ= BPQ( по трем сторонам) так как 1) AP=BP=г 2) AQ=BQ=г 3) PQ-общая Следовательно, 1= 2 Значит, РО-биссектриса равнобедренного АРВ. 1 2 Значит, РО и медиана АРВ. То есть, О-середина АВ.

Задача 2 Построить середину данного отрезка (строим окружность, радиус которой меньше данного отрезка) Дано: АВ-отрезок А Построить: О АВ ОА=ОВ О: Построение: 1. окр(А ;АF) 2. окр(В;ВM) 3. окр(А;АF) окр(В;ВM P;Q 4. PQ-прямая P Q 5. PQ AB= O О 6. O- искомая точка B O М F исследование

Задача 2 Построить середину данного отрезка (при построении проводим окружность, радиус которой меньше половины данного отрезка) Дано: АВ-отрезок А Построить: О АВ ОА=ОВ О: Построение: 1. окр(А ;АM) 2. окр(В;ВT) 3. окр(А;АM) не пересекает окр(В;ВT)= P;Q B М T исследование Значит построение середины отрезка невозможно.

Задача 3 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: M m m a точка М принадлежит прямой а М Построение: 1. окр(М;г); г-любой A A1 2. окр(М;г) а= А;А1 3. окр(А;АА1) 4. окр(А1;A1A) 5. окр(А;АА1) окр(А1;А)= P;Q P Q 6. прямая PQ=m 7. m-искомая m m

Задача 4 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: M m m a точка М не принадлежит прямой а М Построение: 1. окр(М;г) A A1 2. окр(М;г) а= А;А1 3. окр(А;АМ) 4. окр(А1;A1М) 5. окр(А;АМ) окр(А1;А1М)= M;Q Q 6. прямая МQ=m 7. m-искомая m m

Задача 4 Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой Дано: прямая а а точка M Построить: m: M m m a точка М не принадлежит прямой а М A A1 Q m m Доказательство: AМQ= А1MQ( по трем сторонам) так как 1) AM=А1M=г 2) AQ=A1Q=г 3) MQ-общая Следовательно, 1= 2. Тогда, МО-биссектриса равнобедренного АМА1. 1 2 О Значит, МО и высота АМА1. Тогда, МQ a.

Задача 5 Отложить от данного луча угол, равный данному Дано: луч ОМ О М А А Построить: Построение: 1. окр(А,г); г-любой С В 3. окр(О,г) Е 4. окр(О,г) ОМ= Е 5. окр(Е,ВC) К К1 6. окр(Е,BС) окр(О,г)= К;К1 7. луч ОК; луч ОК1 8. КОМ -искомый KOM= А 2. окр(А;г) А= В;С

Задача 5 Отложить от данного луча угол, равный данному Дано: луч ОМ О М А А Построить: С В Е К К1 KOM= А Доказательство: AВС= ОЕК(по трем сторонам) так как 1) АВ=ОЕ=г 2) АС=ОК=г 3) ВС=ЕК=г1 Следовательно, КОМ= А

Задача 6 Построить биссектрису данного угла Дано: А Построить: Построение: А 1. окр(А;г); г-любой Луч AE-биссектрису А 2. окр(А;г) А= В;С C B 3. окр(В;г1) 4. окр(С;г1) E E 1 5. окр(В;г1) окр(С;г1)= Е;E1 6. Е-внутри A 7. AE-луч 8. AE-искомый Е

В своей работе я использовала информацию из: 1. Учебник «Геометрия 7-9» под.ред. Атанасян Л.С. 2. «За страницами учебника». 3. Сайт Сеть творческих учителей. 4. «Геометрия 7класс» Уроки школы К&М.