Комбинаторные задачи (7 класс)

Подготовили: Ученицы 7А класса ОСШ № 19 Долинко Галина Соколовская Валерия

Цель: составить сборник задач по данной теме. Задачи: рассмотреть примеры комбинаторных задач научиться выделять основные типы задач рассмотреть алгоритмы и схемы для решения задач составить аналогичные задачи представить результат своей деятельности, в виде сборника задач

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий, но которые нельзя описать или охарактеризовать с помощью неизменных закономерностей в виде формул, правил, теорем и т.п. Навыки решения задач используются, как в часы досуга, так и для работы в секретных службах, развития математических способностей. Мы полагаем, что результаты нашей работы вызовут интерес у учащихся и ребят, интересующихся математикой. Поэтому наш сборник можно использовать на уроках, как дидактический материал по теме «Решение задач на перестановки, размещения и сочетания» и упражнения для развития логики и внимания, в виде занимательных квадратов.

В школьной столовой на первое можно заказать борщ, солянку, грибной суп, на второе – мясо с макаронами, рыбу с картошкой, курицу с рисом, а на третье – чай и компот. Сколько различных обедов можно составить из указанных блюд? рассмотрим, например, “дерево возможностей”, которое помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий.

1 способ: Перечислим возможные варианты

Ч К Б С М Р Кр Г Б С Г М Р Кр М Р Кр М Р Кр М Р Кр М Р Кр 2 способ: Дерево возможностей Каждый путь по этому «дереву» соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу точек в нижнем ряду «дерева».

Правило умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В, т.е. в нашей задаче имеется 3 элемента: первое, можно выбрать 3 раза, второе – 3 раза и третье – 2раза, получаем: 3х3х2=18 3 способ Правило умножения

В своей работе мы рассмотрели задачи на перестановки, сочетания и размещения. Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке. Число перестановок из n элементов обозначается символом Рn (Р из n элементов). Например. Задача: в книжном шкафу на полке стоят 3 книги, эти книги можно переставить по разному: Каждое из этих расположений называется перестановкой из трех элементов. Таким образом Р3= 6. Т.е. Р3= 3*2*1= 6 = 3! Формула для вычислений: Рn =n!

Размещением из n элементов по k (k меньше или равно n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Обозначение: Ank ( читают: «А из n по k). Задача: Пусть имеется три шара и две пустых ячейки. В пустые ячейки можно разместить по два шара. Решение: из трех элементов по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2). Размещения считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения. Например: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1) в нашем примере. В результате получаем: А32 = 3*2 = 6. Задача: Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? Решение: А84= 8*7*6*5 = 1680

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов. Обозначение: Cnk (читают С из n по k). Задача: Пусть имеется три шара разного цвета. Нужно рассмотреть все возможные способы составления шаров, в которых сочетаются два цвета из данных трех. Решение: из трех элементов (1;2;3) по два будут наборы (1,2),(1,3),(2,3). В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значение, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания различны, если отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Например: (1,2),(1,3). Решение: (2 способ).В нашем примере, в каждом сочетании выполнимы все перестановки. Число таких перестановок равно Р2. В результате получим все возможные комбинации из 3 элементов по 2, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов, т.е. все размещения из 3 элементов по 2. Всего мы получим А32 размещений. Значит если количество размещений разделить на количество перестановок, получим количество сочетаний из трех элементов по два. С32=А32/Р2=6:2=3.

Задача: Расположить натуральные числа от 1 до 9 в магический квадрат 3х 3. В магическом квадрате 3х 3 магической постоянной 15 должны быть равны сумме трех чисел по 8 направлениям: по 3 строкам, 3 столбцам и 2 диагоналям. магические и занимательные квадраты Проведенное нами простое построение магического квадрата 3х 3 доказывает его единственность.

Тема: «Метод перебора». В школьной столовой было меню: из напитков - кофе, чай; гарнир – картошка, рис, перловка; мясное – курица, котлеты, тефтели. Сколько возможных вариантов обеда можно заказать в школьной столовой? (Архипова Юля 6Б класс) Художнику надо было нарисовать картины о трех профессиях: продавец, повар и пожарник. Позировать для картины пришли два продавца Оля и Вера; три повара Андрей, Света и Ника; три пожарника – Леша, Миша и Паша. Сколько может получится картин у художника, ели в позировании примут участие все участники? (Искакова Айжан 6В класс) В магазине продавали из хлебной продукции: кириешки, компашки, хлеб; из колбас – ливерную, докторскую, молочную; из напитков – сок, лимонад. Сколько покупок можно сделать из трех наименований? (Яковлев Константин 6В класс)

Тема: Перестановки, размещения, сочетания. В спорт зале на полке находилось 7 футбольных мячей. Найти все возможные перестановки? (Яковлев Константин 6В класс) Учащиеся шестого класса изучают 12 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 6 различных предметов? (Яковлев Константин 6В класс) В классе было 13 человек. Сколько возможных вариантов сесть за парты по одному? по два? (Искакова Айжан 6В класс) В классе 28 человек, надо выбрать на каждый день двух дежурных. Сколькими способами можно это сделать? (Ворошнина Ольга 6А класс)

Тема: «Занимательные квадраты». В квадрат 3х3, расставьте цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали было равно 15. (Яковлев Константин 6В класс) Заполните магический квадрат 3х3, используя числа 9,10,11,12,13,14,15,16,17, чтобы сумма была равна 39. (Балахнин Володя 6Б класс) Поставьте цифры 3,4,5,6,7,8 так, чтобы сумма на всех сторонах треугольника была равна 15. (Балахнин Володя 6Б класс) Расставить числа 1,5,7,8,9.10,11,12,18 так, чтобы в каждой линии получилось 24. (Искакова Айжан 6В класс)