Презентация по математике на тему "Комбинаторные задачи" (5 класс)

Классная работа
13.01.
Комбинаторные задачи
КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА –
это задача, требующая осуществления
перебора всех возможных вариантов
или подсчета их числа.

Решить
комбинаторную задачу - это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

Задача 1: Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

Решение задачи:
6 способов

Задача № 1
Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3? (Цифры НЕ могут повторяться!)

Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 6? (Цифры НЕ могут повторяться!)
Задача № 3

Задача № 2
Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 5, 7, 9? (Цифры НЕ могут повторяться!)

Решение задачи № 1
Цифры
1
3
2
3
1
2
1
1
3
1
2
3
2
3
2
Ответ: 6 чисел (123, 132, 213, 231, 312, 321)

Решение задачи № 2
Цифры
3
6
3
3
6
4
3
3
4
6
4
6
4
6
4
Ответ: 6 чисел (346, 364, 436, 463, 634, 643)

Решение задачи № 3
Цифры
5
7
9
7
5
9
9
7
9
5
7
5
7
5
9
Ответ: 6 чисел (579, 597, 759, 795, 957, 975)

Задача Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1; 4; 7?
(цифры могут повторяться)
Решение: Для того, чтобы не пропустить и не повторить ни одного из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания:
11;14;17;(начали с 1)
41;44;47;(начали с 4)
71;74;77;(начали с 7)
Таким образом, из трёх данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9 чисел.

Решение задач с помощью дерева возможных вариантов

Задача.
Рассмотрим задачу о составлении трехзначных чисел из цифр 1;4;7 (цифры в записи числа не повторяются).
Для её решения построим схему-дерево возможных вариантов.

число
1
4
7
4
7
7
4
1
7
7
1
4
1
4
1
Ответ: числа 147;
417; 471; 714; 741
174;

Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Решение задачи:










Ответ: 6 способов

Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1; 2 и 3 (цифры могут повторятся)
Решение. Двузначное число

Первая цифра 1 2 3

Вторая цифра 1 2 3 1 2 3 1 2 3

Варианты числа: 11; 12; 13; 21; 22; 23; 31; 32; 33
Ответ: 9 чисел

Правило умножения в комбинаторных задачах.
Для комбинаторной задачи с умножением можно построить дерево вариантов, но такое дерево строить станет намного сложнее, именно поэтому используется метод умножения, чтобы запись была короче.



Рассмотрим этот метод на примере одной задачи:
На обед в школьной столовой предлагается 2 вида супа, 3 вторых блюда и 4 разных сока. Сколько различных обедов можно составить по предложенному меню?


Рассуждение:
Первое блюдо можно выбрать 2 способами, для каждого вида супа можно выбрать второе блюдо из 3 предложенных, уже получается 6 вариантов , осталось выбрать напиток: для каждого из 6 полученных наборов существует 4 способа выбора напитка.


Ответ: 24 способа.

Оформление:
Суп - 2 способа
Вторые блюда - 3 способа
Сок - 4 способа





Решение: 2 x 3 x 4= 24

Ответ:
Можно составить 24 варианта различных обедов

Задача.
В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?

Решение. Первое место может занять любой из 4 участников. При этом второе место может занять любой из трёх оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвёртом месте остаётся последний участник.
Значит, места между участниками могут быть распределены следующим образом 4•3•2•1=24.

Ответ: 24 способами.