Презентация на тему "Начальные понятия стереометрии"

Начальные понятия стереометрии

Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а так же их обобщения. Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма.

Геометрия
Планиметрия – изучает свойства фигур на плоскости
Стереометрия – изучает свойства фигур в пространстве

Стереометрия -
это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» – объемный, пространственный и «метрео» – измерять.
Основные фигуры в пространстве – точка, прямая и плоскость. Точки обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С, D,… . Прямые могут быть обозначены одной маленькой латинской буквой, либо двумя большими латинскими буквами: a, b, c, d, k,… или AB, DC, TR, KN,… . Плоскости обычно обозначаются греческими буквами: . Наряду с этими фигурами рассматриваются геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Так, например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников.

Кванторы геометрии

Многогранники -
это геометрические тела, поверхность которых состоит из многоугольников.
Одним из простейших многогранников является куб. Капли жидкости в невесомости принимают форму тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.
В отличие от реальных предметов геометрические тела, как и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Так, например, границей шара является сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов – оснований цилиндра и боковой поверхности.
Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов и можем использовать эти свойства в практической деятельности. В этом состоит практическое значение геометрии. Геометрия, в частности стереометрия, широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии и во многих других областях науки и техники.

Аксиомы стереометрии
Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.
Аксиома – это утверждение, которое не требует доказательства.
Теорема – это утверждение, которое требует доказательства.
Вся система аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть которых знакома из курса планиметрии:
А1: На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
А2: Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
А3: Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
А4: Из трех точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.
А5: Каждая точка прямой разделяет ее на две части – два луча – так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от данной точки, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от данной точки. При этом сама эта точка не принадлежит ни одному из указанных лучей.

А6: Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
А7: На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
А8: От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
А9: Любая фигура равна сама себе.
А10: Если фигура Ф равна фигуре Ф1 , то фигура Ф1 равна фигуре Ф.
А11: Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре Ф3, то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.
А12: При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
А13: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Теперь сформулируем три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. Обозначим их А14, А15, А16.
А14: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Отметим так же, что если взять не три точки, а четыре, то через них может не проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре точки могут не лежать в одной плоскости (например, если взять стул, у которого хотя бы одна ножка сломана).

А15: Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.
Из данной аксиомы следует, что если прямая не лежит в плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. Если прямая и плоскость не имеют общих точек, то говорят, что они параллельны.

А16: Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией данной аксиомы является пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Следствия из аксиом
Теорема 1: Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Задания:
1. По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC; б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой EC с плоскостью ADB; в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC; г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DBC, ADB и CDA, PDC и ABC.
2. По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQC; б) плоскости, в которых лежит прямая АА1; в) точки пересечения прямой МК с плоскостью ADB, прямых DК и ВP с плоскостью А1В1С1; г) прямые, по которым пересекаются плоскости АА1В1 и ACD, РВ1С1 и АВС; д) точки пересечения прямых МК и CD, В1С1 и ВР, С1М и CD.
3. Верно ли, что: а) любые три точки лежат в одной плоскости; б) любые четыре точки лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна? Ответ обоснуйте.
4. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?
5. Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Домашнее задание:
1. Выписать в тетрадь: Признаки равенства треугольников (СУС, УСУ, ССС); Признаки подобия треугольников; теоремы о прямоугольном треугольнике; теоремы о равнобедренном треугольнике.
2. Выучить теорию лекции и выписанные в тетрадь теоремы.
3. Решить оставшиеся задачи.