Решение задач с помощью систем уравнений 2 степени

№ 268. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа. Пусть 1 число – х, а 2 число – у, известно, что их сумма х+у=12, а произведение х·у=35. Решение: составим систему уравнений: х+у=12; х=12-у(выразим х через у) х·у=35; (12-у)у=35 (подставим во 2 уравнение вместо х выражение (12-у)) (1) 12у-у2=35 -у2+12у-35=0 |(-1) у2-12у+35=0 Д=144-140=4=22 у1=7, у2=5. х1=5, х2=7 Ответ: 5 и 7.

№ 270. Диагональ прямоугольника равна 10см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника. х у 10 Что нам неизвестно? Как обозначим эти неизвестные величины? Как найти периметр нашего прямоугольника? Составьте 1 уравнение системы. 2(х+у)=28 Как нам связать стороны с диагональю? По теореме Пифагора получаем х2+у2=102 это второе уравнение системы. х+у=14 Х2+у2=100

х=14-у х1=6 (14-у)2 + у2=100 (1) у1=8 х2=8 у2=6 196 -28у + у2 + у2 - 100 = 0 2у2 - 28у + 96 = 0 у2 – 14у + 48 = 0 Д1 = 49 – 48=1 у1=8; у2=6. Ответ: 6 и 8 см.

х х у у S=х2 S=у2 S=ху №276. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 30 см2. 2(х2 + у2) =122 х2 + у2 = 61 ху = 30 х = 30/ у (30/ у)2 + у2 – 61 = 0 у4 – 61у2 + 900 = 0 Замена у2 = а, а>0. а2 - 61а + 900 = 0, Д =612-4·900=3721-3600=121 а1= 36, а2=25. Обратная замена: у2=6, у=6, у2=25, у=5 х=5 х=6 Ответ: 5 и 6 см.

Самостоятельная работа 1 вариант Разность двух чисел равна 5, а их произведение равно 84. Найдите эти числа. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого 2 вариант Сумма двух чисел равна 25, а их произведение равно 144. Найдите эти числа. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 4 см меньше другого а в с а2+в2=с2