Презентация проекта "Теория вероятности"

Теория вероятностей и её применение
Работала:
Демиденко Алеся
Ученица 11 класса «А»
МБОУСОШ № 38

Учитель математики:
Коротун Ольга Викторовна

Содержание
Введение
1. Цели
2. Задачи
3. Проблема
4. Страницы истории
5. Первичные понятия теории вероятностей
6. Теорема Бернулли
7. Формула Байеса
8. Формула Пуассона
9. Применение теории вероятности
Заключение
Список литературы

Введение

Цели
Познакомиться с основами теории вероятностей
Дать общие знания о теории вероятностей, позволяющие ориентироваться в статистической информации, предоставляемой СМИ
 Рассмотреть разные виды задач по теории вероятностей и методы их решения
Подготовиться к ГИА и ЕГЭ

Задачи

Собрать, изучить и систематизировать материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации.
Находить вероятности случайных событий в простейших случаях, используя готовые статистические данные.
Решать практико-ориентированные задачи, требующих перебора вариантов.
Рассмотреть использование теории вероятности в различных сферах жизнедеятельности.

Проблема
Подготовить материал доступный для восприятия учащимися и применение ими полученных знаний в повседневной жизни.

Страницы истории

Блез Паскаль
Французский математик, механик, физик, литератор и философ. Классик французской литературы, один из основателей математического анализа, теории вероятностей и проективной геометрии, создатель первых образцов счётной техники, автор основного закона гидростатики

Пьер Ферма
Французский математик-самоучка, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. По профессии юрист, Наиболее известен формулировкой Великой теоремы Ферма, «самой знаменитой математической загадки всех времён»

Гюйгенс (1629—1695)
Нидерландский механик, физик, математик, астроном и изобретатель. Первый иностранный член Лондонского королевского общества, член Французской академии наук с момента её основания и её первый президент
Яков Бернулли (1654—1705)
Швейцарский математик. Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Доказал частный случай закона больших чисел - теорему Бернулли. Профессор математики Базельского университета. Иностранный член Парижской академии наук и Берлинской академии наук.

Муавр (1667—1754)
Английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества, Парижской и Берлинской академий наук. Ученик и помощник Исаака Ньютона.

Лаплас (1749— 1827)
Французский математик, механик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все разделы этих наук

Гаусс (1777—1855)
Немецкий математик, механик, физик, астроном. Считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». иностранный член Шведской и Российской Академий наук, английского Королевского общества
Пуассон (1781—1840)
Французский математик, физик и механик . Доказал общую форму закона больших чисел; примерил теорию вероятностей к задачам стрельбе

Понятия теории вероятностей
Вероятность - степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события

Существует 3 определения вероятности
Классическое
Статистическое
Геометрическое

Классическое
Классической вероятность случайного события А называется P(А)=m/n, где

P(А) - вероятность появления события А
n – число всех возможных исходов эксперимента
m – число исходов, благоприятных для события А

Дано:

В опыте с бросанием игральной кости число всех исходов равно 6 и все они равновозможны. Пусть событие А означает появление четного числа. Тогда для этого события благоприятными исходами будут появление чисел 2, 4, 6. Их количество  равно 3.
Определить вероятность события А.
Пример 1

Решение

P(A)=m/n

P(A)= 3/6 = ½


Ответ: P(A)= ½

Статистическое
Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях:

P(A)=w(A)=b/c, где
P(А) - вероятность появления события А
w(A) - относительная частота появления события А
b – число испытаний, в которых появилось событие A
c – общее число испытаний

Дано:
Для контроля качества изделий из партии наугад выбрано 100 изделий, среди которых 3 изделия оказались бракованными.
Определить вероятность брака
Пример 2

Решение
P(A)=w(A)=b/c

P(A)=w(A)=
3/100 = 0,03

Ответ:P(A)= 0,03

Геометрическое
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области.
P(A)= D(A)/ D(G), где
D(A) и D(G) - геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов и события А.

Дано

На отрезке AB длиной 20 см наугад отметили точку. Какова вероятность, что она находится на расстоянии не более 9 см от точки  А и не больше 15 см от точки Б?



Пример 3

Решение



MN=9+15-20=4 (см)

P(A)= 4/20 = 0,2

Ответ. P(A)= 0,2

События

Событие – это результат опыта.
Частота события это отношение числа испытаний, в которых появилось это событие, к общему числу испытаний.
Опыт (испытание) – это производимые действия.

СОБЫТИЯ
Случайные
0<Р(А)<1

Достоверные
Р(А)=1
Невозможные
Р(А)=0

Теорема Бернулли
Пусть производится n независимых опытов(испытаний) в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью p проявляется событие А
Тогда вероятность P m,n того, что событие А производится в n опытах m раз выражается формулой:
m m n-m
P m, n = C * p * q , где
n
p –вероятность наступления события А
m – число наступлений события А
n – число испытаний
q = 1 - p

Дано:

Из 100 аккумуляторов за год хранения 7 выходит из строя. Наудачу выбирают 5 аккумуляторов.

Определить вероятность того, что среди них 3 исправных.

Решение


m m n-m
P m, n = C * p * q
n
p=7/100=0,07 
n=5 

m=5−3=2
2 2 5−2
P5(2)=C⋅0,07⋅(1−0,07) =
5! 3!2!⋅ 0,072⋅ 0,933 =
5
=0,0394

Ответ: 0,0394

Формула Байеса





P(A) — априорная вероятность гипотезы A
P(A|B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
P(B|A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B) — полная вероятность наступления события B

Дано
Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5 и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель.
К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок

Ршение
B1 = Стрелок принадлежал первой группе,
B2 = Стрелок принадлежал второй группе,
B3 = Стрелок принадлежал третьей группе
P(B1)= 12/30 = 2/5; P(B2)= 8/30 = 4/15; P(B3)= 10/30 = 1/3
A = Стрелок поP(A|B2)=0,5; P(A|B3)= 0,7
P(A )= P(A|B1) P(B1)+ P(A|B2) P(B2) +P(A|B3) P(B3)= 2/5*0,6+ + 8/30* 0,5+ 1/3 * 0,7 =0,607
P(B1|A)= 2/5*0,6 : 0,607 = 0,395
P(B2|A)= 8/30* 0,5 : 0,607 = 0,22
P(B3|A)= 1/3 * 0,7 : 0,607 = 0,384
Ответ: Стрелок принадлежит к первой группе
пал в мишень
P(A|B1)= 0,6;

Формула Пуассона





где
 λ - математическое ожидание случайной величины,
m! - обозначает факториал числа 
e=2,71…. — основание натурального логарифма
λ= n*p

Дано:

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002.
Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

По условию:

n = 1000, p = 0,002, λ= n*p =2 k= 3

P1000(3) = 2³/ 3! * eˉ² = 8/6 eˉ² ≈0,18


Ответ: 0,18

Применение теории вероятности в наши дни

Астрономия
Физика
Сельское хозяйство
Промышленность
Медицина
И многие другие

Астрономия

Для использования в астрономии был разработан знаменитый “метод наименьших квадратов” (Лежандр 1805, Гаусс 1815).

Физика
Понятие вероятности появилось в физике в связи с развитием кинетической теории газов.

Сельское хозяйство

Развита
теория планирования экспериментов, дисперсионный анализ

Промышленность

Введение
методов статистического контроля на производстве

Медицина
Применение статистических методов.
Возникло новое понятие “Доказательная медицина”

Заключение

Список литературы
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 2006 г.;
Майстров Л.Е. Развитие теории вероятностей. М.:Наука, 1980 г.;
Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967 г.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. М: Высшая школа, 1998 г.;
Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия. — М.: БРЭ, 1999. — 910 с

Спасибо за внимание