Презентация к уроку алгебры по теме «Решение задач с помощью рациональных уравнений»(8 класс)

Решение задач
с помощью
рациональных уравнений




Презентация к уроку алгебры
(8класс, учебник «Алгебра»
автор Ю.Н.Макарычев)
Выполнил учитель математики
МОУ «Рыбачьевская школа»
города Алушты
Бышук Петр Иванович



2021 г.

Цели урока:
Научиться составлять дробно-рациональные уравнения по условию задачи.
Уметь решать задачи с помощью дробно-рациональных уравнений.

Решите уравнение:

а) х2 – 4х + 4 = 0
Ответ: x1 = 2, x2 = 2
б) 3х2 + 6 = 0
3х2 = -6
х2 = -2 Ответ: корней нет
в) x2 + 13х + 22 = 0
Ответ: x1 = -11, x2 = -2
г) 𝑦 2 𝑦−3 = 9 𝑦−3
ОДЗ: y≠3; 𝑦 2 =9
𝑦 1 =3 − не удовлетворяет ОДЗ, 𝒚 𝟐 =−𝟑 Ответ:−3

Решить уравнение: 2 𝑥 2 𝑥 − 2 = 4𝑥 𝑥 − 2 .
Решение:
2 𝑥 2 𝑥−2 = 4𝑥 𝑥−2
Общий знаменатель (𝑥−2).
𝑥=0;
или 2𝑥−4=0
2 𝑥 2 ∙(𝑥−2) 𝑥−2 = 4𝑥∙(𝑥−2) 𝑥−2
∙(𝑥−2), при 𝑥−2≠0.
2 𝑥 2 =4𝑥
2 𝑥 2 −4𝑥=0
𝑥=2
Ответ: 𝑥=0.
Проверка:
При 𝑥=0, 0−2 =−2≠0.
При 𝑥=2, 2−2 =0.
𝑥(2𝑥−4)=0
Если среди найденных корней окажется
такое число, при котором знаменатель
дроби обращается в нуль, то такое
число корнем уравнения быть не может,
его называют посторонним корнем и в
ответ не включают.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:
1) Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на
множители.
2) Найти общий знаменатель этих дробей.
3) Умножить все слагаемые данного уравнения на общий
знаменатель.
4) Решить получившееся целое уравнение.
5) Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль
общий знаменатель данного уравнения.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.
Этапы решения:

2) Этап формализации.
3) Этап решения уравнения.
4) Этап интерпретации.
1) Этап анализа условия задачи.

Задача 1. Числитель дроби на 3 меньше ее знаменателя. Сумма дроби и обратной ей дроби в 7,25 раза больше исходной дроби. Найти исходную дробь.

ч з −?
Ч -? на 3 <
З - ?
Ч З + З Ч в 7,25 р. > Ч З

𝑥 2 = 90 42 = 15 7
Так как по условию задачи сумма дроби 𝒙−𝟑 𝒙 и обратной ей дроби 𝒙 𝒙−𝟑 в 𝟕,𝟐𝟓 раза больше исходной дроби, то можем составить уравнение:
Значит, исходная дробь имеет вид 𝒙−𝟑 𝒙 .
Решение:
Обозначим за 𝒙 – знаменатель дроби.
Тогда (𝒙−𝟑) – числитель этой дроби.
𝑥−3 𝑥 + 𝑥 𝑥−3 = 29 4 ∙ 𝑥−3 𝑥
7,25=7 25 100 =7 1 4 = 29 4
𝐷= (−150) 2 −4∙21∙225=
22500−18900=3600.
𝐷>0.
Общий знаменатель 4𝑥(𝑥−3)
𝑥 1,2 = −(−150)± 3600 2∙21 =
𝑥 1 = 210 42 =5;
150±60 42
5 – знаменатель, 5−3=2 – числитель.
𝑥−3 𝑥 + 𝑥 𝑥−3 =7,25∙ 𝑥−3 𝑥
4 𝑥−3 𝑥−3 +4 𝑥 2 =29(𝑥−3)(𝑥−3)
∙4𝑥(𝑥−3)
Ответ: 2 5 – исходная дробь.
4 𝑥 2 −24𝑥+36+4 𝑥 2 =29 𝑥 2 −174𝑥+261
21 𝑥 2 −150𝑥+225=0
⟹ 2 5 – исходная дробь.

Задача 2. Велосипедисту надо проехать 15 км. Он выехал на 15 минут позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

По условию задачи, велосипедист выехал на 𝟏𝟓 минут позже намеченного срока, или, что тоже самое, на 𝟏𝟓 𝟔𝟎 часа позже.
Тогда расстояние в 𝟏𝟓 км велосипедист проедет за 𝟏𝟓 𝒙 часов.
Составим уравнение:
Если бы велосипедист выехал вовремя, то его скорость была бы равна (𝒙−𝟐) км/ч.
Решение:
15∙4𝑥−15∙4∙(𝑥−2)=𝑥(𝑥−2)
15 60 = 1 4
𝐷= −2 2 −4∙1∙(−120)=
4+480=484.
𝐷>0.
Общий знаменатель 4𝑥(𝑥−2)
𝑥 1,2 = −𝑏± 𝐷 2𝑎
𝑥 1,2 = −(−2)± 484 2∙1
𝑥 2 = 2−22 2 = −20 2 =−10
𝑥 1 = 2+22 2 = 24 2 =12;
Ответ: 12 км/ч.
Пусть 𝒙 (км/ч) – скорость велосипедиста.

15 𝑥−2 − 15 𝑥 = 15 60
60𝑥−60𝑥+120= 𝑥 2 −2𝑥
15 𝑥−2 − 15 𝑥 = 1 4
И тогда расстояние в 𝟏𝟓 км он проехал бы за 𝟏𝟓 𝒙−𝟐 часов.

∙4𝑥(𝑥−2)
𝑥 2 −2𝑥−120=0

Задача 3. Моторная лодка прошла вниз по реке 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найти скорость течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

Известно, что моторная лодка прошла по течению реки 𝟏𝟒 км, а значит, затратила на это расстояние 𝟏𝟒 𝟓+𝒙 часов. Затем против течения лодка прошла 𝟗 км, затратив на это расстояние 𝟗 𝟓−𝒙 часов.
Общий знаменатель (5+𝑥)(5−𝑥)
14 5+𝑥 + 9 5−𝑥 =5
Решение:
14 5−𝑥 +9(5+𝑥)=5(5+𝑥)(5−𝑥)
𝑥 1 + 𝑥 2 =−1
𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−2
𝑥 1 =−1;
Ответ: 2 км/ч.
Тогда (𝟓+𝒙) км/ч скорость моторной лодки по течению реки и (𝟓−𝒙) км/ч скорость моторной лодки против течения.
Составим уравнение:
Пусть 𝒙 (км/ч) – скорость течения реки.
∙(5+𝑥)(5−𝑥)
70−14𝑥+45+9𝑥=125−5 𝑥 2
5 𝑥 2 −5𝑥−10=0
𝑥 2 −𝑥−2=0
𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝
𝑥 1 𝑥 2 =𝑞
𝑥 2 =2

По условию известно, что на весь путь моторная лодка затратила 𝟓 часов.
𝐷 1 = −1 2 −4∙1∙(−2)=
1+8=9.
𝐷>0.

Решите задачи:

Скорость течения реки 2 км/ч, катер двигался по течению 40 км, а против течения 6 км, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера?

Решение:

40 х+2 + 6 х−2 =3
40 х+2 + 6 х−2 =3 × (х+2)(х-2)

40(х-2)+6(х+2)=3( х 2 −4)
40х-80+6х+12=3 х 2 −12
3 х 2 −46х+56=0
D=1444 , х 1 =14, х 2 = 4 3 не удовлетворяет условию задачи
Ответ: 14 км/ч

Вопросы:
Каковы этапы решения задач на составление дробного рационального уравнения ?
Как проводится интерпретация полученных решений?
В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию задачи?

Домашнее задание:
п.26 (задача 1)
Решить №618 и №620

Спасибо за урок!

Используемые источники информации:

1. Ю.Н.Макарычев «Алгебра» учебник для 8-го класса.
2. Материалы сайта http://videouroki.net